Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
l2 x1-2 x2-x3=4 3 x1+4 x2-2 x3=11, 3 x1-2 x2+4 x3=11
i.) Resolva cada sistema de equações usando o método de Gauss.
ii.) Resolva cada sistema de equações usando a regra de Cramer (caso seja possível).

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear
2x1-2x2-x3=4, 3x1+4x2-2x3=11, 3x1-2x2+4x3=11
usando (i) o método de eliminação de Gauss e (ii) a regra de Cramer. Vamos primeiro montar a matriz aumentada e aplicar Gauss, depois usar determinantes para Cramer.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos x1.
[ccc|c 2 & -2 & -1 & 4 3 & ;4 & -2 & 11 3 & -2 & ;4 & 11 ]
Usamos o pivô da primeira linha ( 2) para zerar as entradas abaixo:
R2 R2 -tfrac32R1 e
R3 R3 -tfrac32R1.
Isso leva a
[ccc|c 2 & -2 & -1 & 4 0 & 7 & -tfrac12 & 5 0 & 1 & tfrac112 & 5 ]

Passo 3

Para simplificar, permutamos R2 e R3, de modo a ter 1 como pivô na segunda linha, e em seguida eliminamos o x2 de R3:
[ccc|c 2 & -2 & -1 & 4 0 & 1 & tfrac112 & 5 0 & 7 & -tfrac12 & 5 ] R3-7,R2longrightarrow [ccc|c 2 & -2 & -1 & 4 0 & 1 & tfrac112 & 5 0 & 0 & -39 & -30 ]

Passo 4

Agora resolvemos o sistema triangular:
Da terceira linha:
-39,x3 = -30 Longrightarrow x3 = -30-39 = 1013
Da segunda linha:
x2 + 112,x3 = 5 Longrightarrow x2 = 5 - 112cdot1013 = 65-5513 = 1013
Da primeira linha:
2x1 -2x2 - x3 = 4 Longrightarrow 2x1 = 4 + 2cdot1013 + 1013 = 8213 Longrightarrow x1 = 4113

Passo 5

Agora usamos a regra de Cramer. A matriz dos coeficientes é
A = 2 & -2 & -1 3 & 4 & -2 3 & -2 & 4 ,
com determinante
D = det(A) = 2,(4cdot4 - (-2)cdot(-2)) -(-2),(3cdot4 - (-2)cdot3) +(-1),(3cdot(-2) - 4cdot3) = 78
Substituindo a coluna de termos constantes em cada posição, obtém-se
Dx1 = 246, Dx2 = 60, Dx3 = 60,
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x1 = Dx1D = 24678 = 4113, x2 = 6078 = 1013, x3 = 6078 = 1013

Resposta

(x1,x2,x3) = gl(tfrac4113,,tfrac1013,,tfrac1013gr)

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