Dados três vetores u, v, w in R^3, o produto misto destes vetores é definido por lang<=(u times v) ; wrang<= e denotado por [u, v, w]. Mostre que
[u, v, w]=|ccc u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 |

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto misto de três vetores vec u,vec v,vec win R^3, definido por
[vec u,vec v,vec w];=;lang<=,vec utimesvec v,,,vec wrang<=,
coincide com o determinante da matriz cujas linhas são as componentes de vec u,vec v,vec w. Para isso vamos usar a expressão componente a componente do produto vetorial e do produto escalar, e comparar com a expansão por cofatores de um determinante 3times3.

Passo 2

Vamos primeiro calcular vec utimesvec v. Se
vec u = (u1,u2,u3), vec v = (v1,v2,v3),
então
vec utimesvec v = l(u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1r)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar desse resultado com vec w=(w1,w2,w3):
[vec u,vec v,vec w] = lang<=,vec utimesvec v,,,vec wrang<= = (w1)(u2v3 - u3v2) + (w2)(u3v1 - u1v3) + (w3)(u1v2 - u2v1)

Passo 4

Por outro lado, o determinante
|ccc u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 |
pode ser desenvolvido pela terceira linha (ou por qualquer linha); tomando a terceira linha obtemos exatamente
w1,(u2v3 - u3v2) -,w2,(u1v3 - u3v1) +,w3,(u1v2 - u2v1)
Repare que -l(u1v3 - u3v1r)=u3v1 - u1v3, de modo que essa expressão coincide com a do produto misto do passo anterior.

Resposta

[vec u,vec v,vec w] = |ccc u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 |

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