Considere os seguintes subconjuntos de P2(R) :
U=p(t) in P2(R): p(-1)=0 e V=p(t) in P2(R): integral0^1 p(t) d t=0
Mostre que U e V são subespaços vetoriais de P2(R).

Passo 1

O enunciado trabalha em P2(R), o espaço vetorial das funções polinomiais de grau <=2 com coeficientes em R. Definimos
U = ,p(t)in P2(R): p(-1)=0, V = ,p(t)in P2(R): integral0^1p(t),dt=0
Para mostrar que U e V são subespaços, basta provar que cada um é o núcleo (kernel) de um funcional linear, pois o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço.

Passo 2

Defina o funcional de avaliação em -1:
phi: P2(R) to R, phi(p) = p(-1)
– Linearidade: para quaisquer p,qin P2(R) e alphainR,
phi(p+q) = (p+q)(-1) = p(-1)+q(-1) = phi(p)+phi(q),
phi(alpha p) = (alpha p)(-1) = alpha,p(-1) = alpha,phi(p)
Logo, phi é linear e
kerphi = ,p : phi(p)=0 = ,p : p(-1)=0 = U
Como kerphi é subespaço, U é subespaço de P2(R).

Passo 3

Defina o funcional integral de 0 a 1:
L: P2(R) to R, L(p) = integral0^1 p(t),dt
– Linearidade: para quaisquer p,qin P2(R) e alphainR,
L(p+q) = integral0^1l(p(t)+q(t)r),dt = integral0^1p(t),dt + integral0^1q(t),dt = L(p) + L(q),
L(alpha p) = integral0^1alpha,p(t),dt = alpha integral0^1p(t),dt = alpha,L(p)
Logo, L é linear e
ker L = ,p : L(p)=0 = l,p : integral0^1p(t),dt=0r = V
Como ker L é subespaço, V é subespaço de P2(R).

Resposta

Ambos U e V são subespaços vetoriais de P2(R).

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