Considere os seguintes subconjuntos de
:
Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
O enunciado trabalha em
, o espaço vetorial das funções polinomiais de grau
com coeficientes em
. Definimos
Para mostrar que
e
são subespaços, basta provar que cada um é o núcleo (kernel) de um funcional linear, pois o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço.
Passo 2
Defina o funcional de avaliação em
:
– Linearidade: para quaisquer
e
,
Logo,
é linear e
Como
é subespaço,
é subespaço de
.
Passo 3
Defina o funcional integral de
a
:
– Linearidade: para quaisquer
e
,
Logo,
é linear e
Como
é subespaço,
é subespaço de
.
Resposta
Ambos
e
são subespaços vetoriais de
.