Diga quais operadores são diagonalizáveis e calcule D:
T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(x+y, 2 x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar quais operadores são diagonalizáveis e calcular a matriz diagonal D para o operador T: R^2 R^2 definido por T(x, y) = (x + y, 2x + y) . Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de T e verificar se conseguimos diagonalizar a matriz associada a T .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T como uma matriz. Para isso, aplicamos T aos vetores da base canônica e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) :
T(e1) = T(1, 0) = (1 + 0, 2 cdot 1 + 0) = (1, 2)
T(e2) = T(0, 1) = (0 + 1, 2 cdot 0 + 1) = (1, 1)
Assim, a matriz A que representa T é:
A = 1 & 1 2 & 1

Passo 3

Agora, para diagonalizar a matriz A , precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores lambda são soluções da equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Calculando o determinante:
det( 1 - lambda & 1 2 & 1 - lambda ) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (2 cdot 1) = (1 - lambda)^2 - 2
Resolvendo (1 - lambda)^2 - 2 = 0 :
(1 - lambda)^2 = 2 1 - lambda = raiz2 ou 1 - lambda = -raiz2 lambda = 1 - raiz2 ou lambda = 1 + raiz2
Então, os autovalores são lambda1 = 1 + raiz2 e lambda2 = 1 - raiz2 .

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda . Para cada lambda , resolvemos (A - lambda I)v = 0 .
Primeiro, para lambda1 = 1 + raiz2 :
A - lambda1 I = 1 - (1 + raiz2) & 1 2 & 1 - (1 + raiz2) = - raiz2 & 1 2 & - raiz2
Resolvendo (-raiz2)x + y = 0 :
y = raiz2x
Então, um autovetor correspondente é v1 = 1 raiz2 .
Agora, para lambda2 = 1 - raiz2 :
A - lambda2 I = 1 - (1 - raiz2) & 1 2 & 1 - (1 - raiz2) = raiz2 & 1 2 & raiz2
Resolvendo raiz2x + y = 0 :
y = -raiz2x
Então, um autovetor correspondente é v2 = 1 -raiz2 .

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos formar a matriz P cujas colunas são os autovetores e a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal:
P = 1 & 1 raiz2 & -raiz2 , D = 1 + raiz2 & 0 0 & 1 - raiz2

Passo 6

Finalmente, verificamos que A = P D P^-1 , o que confirma que A é diagonalizável e que a matriz D foi corretamente calculada com os autovalores de A .

Resposta

Os operadores são diagonalizáveis e a matriz diagonal D é:
D = 1 + raiz2 & 0 0 & 1 - raiz2

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