Diga quais operadores são diagonalizáveis e calcule D: tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar quais operadores são diagonalizáveis e calcular a matriz diagonal para o operador definido por . Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de e verificar se conseguimos diagonalizar a matriz associada a .
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Para isso, aplicamos aos vetores da base canônica e :
Assim, a matriz que representa é:
Passo 3
Agora, para diagonalizar a matriz A , precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores lambda são soluções da equação característica:
Então, um autovetor correspondente é v2 = 1 -raiz2 .
Passo 5
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos formar a matriz P cujas colunas são os autovetores e a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal: