Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial
das funções de
em
:
Assinale a afirmação verdadeira.
Passo 1
O enunciado define três subconjuntos de
e nos pede para identificar qual(is) deles é(são) subespaço(s) vetorial(is). Lembrando que, para
ser subespaço, precisamos que:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Verificamos
.
- O zero,
, satisfaz , logo . - Se
então
logo
.
- Se
e então
logo
.
Portanto, é subespaço.
Portanto,
Passo 3
Verificamos
.
- O zero vale inteiro, então
. - A soma de duas funções inteiras é inteira, mas se tomarmos
e , temos .
Logonão é fechado sob multiplicação por escalar real, e não é subespaço.
Passo 4
Verificamos
.
- Da condição, basta tomar
para ver , então o zero está em . - Se
então
portanto
.
- Se
e então
logo
.
Portanto, é subespaço.
Portanto,
Resposta
S1 e S3 são subespaços vetoriais de
, enquanto S2 não é.