Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial F(R) das funções de R em R :
& S1=f in F(R) mid f(t)=f(t+1), para todo t in R & S2=f in F(R) mid f(t) é inteiro, para todo t in R & S3=f in F(R) mid f(t+s)=f(t)+f(s), para todos t, s in R é
Assinale a afirmação verdadeira.

Passo 1

O enunciado define três subconjuntos de F( R) e nos pede para identificar qual(is) deles é(são) subespaço(s) vetorial(is). Lembrando que, para Ssubset F( R) ser subespaço, precisamos que:
  1. Sneqemptyset.
  2. Se f,gin S então f+gin S.
  3. Se fin S e alphain R então alpha fin S.

Passo 2

Verificamos S1=fmid f(t+1)=f(t),forall t.
  • O zero, f0(t)=0, satisfaz f0(t+1)=0=f0(t), logo S1neqemptyset.
  • Se f,gin S1 então
(f+g)(t+1)=f(t+1)+g(t+1)=f(t)+g(t)=(f+g)(t),
logo f+gin S1.
  • Se alphain R e fin S1 então
(alpha f)(t+1)=alpha,f(t+1)=alpha,f(t)=(alpha f)(t),
logo alpha fin S1.
Portanto, S1 é subespaço.

Passo 3

Verificamos S2=fmid f(t)in Z, forall t.
  • O zero vale inteiro, então S2neqemptyset.
  • A soma de duas funções inteiras é inteira, mas se tomarmos alpha=tfrac12 e f(t)=1, temos (tfrac12 f)(t)=tfrac12notin Z.
    Logo S2 não é fechado sob multiplicação por escalar real, e não é subespaço.

Passo 4

Verificamos S3=fmid f(t+s)=f(t)+f(s),forall t,s.
  • Da condição, basta tomar t=s=0 para ver f(0)=0, então o zero está em S3.
  • Se f,gin S3 então
(f+g)(t+s)=f(t+s)+g(t+s)=l(f(t)+f(s)r)+l(g(t)+g(s)r) =(f+g)(t)+(f+g)(s),
portanto f+gin S3.
  • Se alphain R e fin S3 então
(alpha f)(t+s)=alpha,f(t+s)=alphal(f(t)+f(s)r) =(alpha f)(t)+(alpha f)(s),
logo alpha fin S3.
Portanto, S3 é subespaço.

Resposta

S1 e S3 são subespaços vetoriais de F( R), enquanto S2 não é.

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