Verifique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V nos seguintes casos:
(vii) V=C^2(R) e S=f in C^2(R) mid a f^prime prime+b f^prime+c f=0, em que a, b, c in R são fixados.

Passo 1

O enunciado diz que
V=C^2(R) é o espaço de todas as funções duas vezes continuamente diferenciáveis, e
S=lfinC^2(R) mid a,f''(x)+b,f'(x)+c,f(x)=0 para todo xinRr,
onde a,b,cinR são constantes fixas. Queremos verificar se S é subespaço vetorial de V, ou seja, se (i) o vetor zero está em S, (ii) S é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que a função zero f0(x)=0 pertence a S. De fato, para todo x vale
a,f0''(x)+b,f0'(x)+c,f0(x) =acdot0 + bcdot0 + ccdot0 =0,
logo f0in S.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f,gin S. Então para todo x
a,(f+g)''(x)+b,(f+g)'(x)+c,(f+g)(x) =l(a,f''+b,f'+c,fr)(x) +l(a,g''+b,g'+c,gr)(x) =0+0=0
Isso mostra que f+gin S.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja lambdainR e fin S. Então
a,(lambda f)''+b,(lambda f)'+c,(lambda f) =lambdal(a,f''+b,f'+c,fr) =lambdacdot0=0,
logo lambda fin S.

Passo 5

Como S contém o zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que S é subespaço vetorial de V.

Resposta

S é de fato um subespaço vetorial de C^2(R).

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