Verifique se
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
nos seguintes casos:
(vii)
e
, em que
são fixados.
(vii)
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço de todas as funções duas vezes continuamente diferenciáveis, e
onde
são constantes fixas. Queremos verificar se
é subespaço vetorial de
, ou seja, se (i) o vetor zero está em
, (ii)
é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que a função zero
pertence a
. De fato, para todo
vale
logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
. Então para todo
Isso mostra que
.
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja
e
. Então
logo
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.