Seja S=p in P3(R) mid p(-1)+p(1)=0. Mostre que S é um subespaço vetorial de P3(R).

Passo 1

O enunciado define
S = ,p in P3(R) mid p(-1)+p(1)=0
e pede para mostrar que S é subespaço vetorial de P3(R). Para isso basta verificar três propriedades:
  1. O polinômio zero pertence a S.
  2. S é fechado sob soma de polinômios.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio zero, p(x)=0 para todo x, satisfaz
p(-1)+p(1)=0+0=0,
logo 0in S.

Passo 3

Fechamento em soma. Sejam p,qin S. Então
(p+q)(-1)+(p+q)(1) =p(-1)+q(-1)+p(1)+q(1) =0+0=0,
pois p(-1)+p(1)=0 e q(-1)+q(1)=0. Assim p+qin S.

Passo 4

Fechamento em multiplicação por escalar. Seja alphainR e pin S. Então
(alpha p)(-1)+(alpha p)(1) =alpha,p(-1)+alpha,p(1) =alphal(p(-1)+p(1)r) =alphacdot0=0
Logo alpha pin S.

Resposta

Portanto, S satisfaz as três condições de subespaço vetorial de P3(R) e, consequentemente, é um subespaço vetorial.

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