Verifique se os conjuntos A e B geram o mesmo subespaço do espaço vetorial V, nos seguintes casos:
(i) A=(1,0,0),(0,1,0) e B=(1,1,0),(1,-1,0), quando V=R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
A=(1,0,0),(0,1,0) e B=(1,1,0),(1,-1,0) geram o mesmo subespaço em V=R^3.
O conteúdo envolvido é o de span (subespaço gerado) e vamos usar a definição de combinação linear para cada conjunto.

Passo 2

Calcular span(A).
Uma combinação linear genérica de (1,0,0) e (0,1,0) é
a,(1,0,0)+b,(0,1,0)=(a,b,0),
com a,binR.
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span(A) =(a,b,0)mid a,binR

Passo 3

Calcular span(B).
Uma combinação linear genérica de (1,1,0) e (1,-1,0) é
c,(1,1,0)+d,(1,-1,0)=(c+d,;c-d,;0),
com c,dinR.
Seja x=c+d e y=c-d. Como dado x,y quaisquer podemos resolver
c=x+y2, d=x-y2,
vemos que
span(B) =(x,y,0)mid x,yinR

Passo 4

Comparando os dois spans:
span(A) =(a,b,0) e span(B) =(x,y,0),
vemos que são idênticos (o plano z=0 em R^3). Portanto, ambos geram o mesmo subespaço.

Resposta

Sim. Ambos geram o plano (x,y,0)mid x,yinRsubsetR^3.

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