Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial
das funções de
em
:
Está correto afirmar que
(A) apenas
é subespaço de
.
(B) apenas
e
são subespaços de
.
(C) apenas
e
são subespaços de
.
(D) apenas
e
são subespaços de
.
(E)
e
são subespaços de
(A) apenas
(B) apenas
(C) apenas
(D) apenas
(E)
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
das funções
e define três subconjuntos:
Para cada
usamos o teste de subespaço: verificar se contém a função zero, se é fechado sob soma de funções e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação de
:
– A função zero satisfaz
, logo
.
– Se , então
– A função zero
– Se
então
.
– Para ,
– Para
logo
.
Portanto é subespaço.
Portanto
Passo 3
Verificação de
:
– A função zero vale , então
.
– Se , então
e
são inteiros, daí
, então
.
– No entanto, para escalar ,
nem sempre é inteiro (por exemplo
e
).
Logo não é fechado em multiplicação escalar e não é subespaço.
– A função zero vale
– Se
– No entanto, para escalar
Logo
Passo 4
Verificação de
:
– A função zero satisfaz , então
.
– Se , então
– A função zero satisfaz
– Se
logo
.
– Para ,
– Para
portanto
.
Assim é subespaço.
Assim
Resposta
(D) apenas
e
são subespaços de
.