Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial mathscrF(R) das funções de R em R :
l S1=f in mathscrF(R) mid f(x)=f(x+1), para todo x in R, S2=f in mathscrF(R) mid f(x) é inteiro, para todo x in R, S3=f in mathscrF(R) mid f(x+y)=f(x)+f(y), para todos x, y in R é
Está correto afirmar que
(A) apenas S1 é subespaço de mathscrF(R).
(B) apenas S2 e S3 são subespaços de mathscrF(R).
(C) apenas S1 e S2 são subespaços de mathscrF(R).
(D) apenas S1 e S3 são subespaços de mathscrF(R).
(E) S1, S2 e S3 são subespaços de mathscrF(R)

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial mathscrF(R) das funções RtoR e define três subconjuntos:
S1=finmathscrF(R)mid f(x)=f(x+1) forall xinR,
S2=finmathscrF(R)mid f(x)inZ forall xinR,
S3=finmathscrF(R)mid f(x+y)=f(x)+f(y) forall x,yinR
Para cada Si usamos o teste de subespaço: verificar se contém a função zero, se é fechado sob soma de funções e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação de S1:
– A função zero 0(x)=0 satisfaz 0(x+1)=0(x), logo 0in S1.
– Se f,gin S1, então
(f+g)(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
então f+gin S1.
– Para alphainR,
(alpha f)(x+1)=alpha,f(x+1)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin S1.
Portanto S1 é subespaço.

Passo 3

Verificação de S2:
– A função zero vale 0inZ, então 0in S2.
– Se f,gin S2, então f(x) e g(x) são inteiros, daí (f+g)(x)=f(x)+g(x)inZ, então f+gin S2.
– No entanto, para escalar alphainR, (alpha f)(x)=alpha,f(x) nem sempre é inteiro (por exemplo f(x)=1 e alpha=1/2).
Logo S2 não é fechado em multiplicação escalar e não é subespaço.

Passo 4

Verificação de S3:
– A função zero satisfaz 0(x+y)=0=0(x)+0(y), então 0in S3.
– Se f,gin S3, então
(f+g)(x+y)=f(x+y)+g(x+y)=l(f(x)+f(y)r)+l(g(x)+g(y)r)
=(f+g)(x)+(f+g)(y),
logo f+gin S3.
– Para alphainR,
(alpha f)(x+y)=alpha,f(x+y)=alphal(f(x)+f(y)r) =(alpha f)(x)+(alpha f)(y),
portanto alpha fin S3.
Assim S3 é subespaço.

Resposta

(D) apenas S1 e S3 são subespaços de mathscrF(R).

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