Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis, e calcule :
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 1 & 0 & 1
e pede para verificar se ela é diagonalizável e, em caso afirmativo, calcular a matriz diagonal D. O conteúdo é diagonalização de matrizes: precisamos obter o polinômio característico, encontrar seus autovalores e autovetores, checar as multiplicidades algébrica e geométrica e, finalmente, montar P e D tais que P^-1AP=D.
Como os autovalores são distintos, em [\mathbb{R}^3) a multiplicidade geométrica de cada um é 1, suficiente para garantir diagonalização. Vamos achar os autovetores:
Para :
logo . Um autovetor não nulo é
Para :
logo . Um autovetor é
Para :
da primeira vem , logo e é livre. Um autovetor é
Passo 4
Os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes e formam a matriz de passagem