Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis, e calcule D:
A=[ccc1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 1 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 1 & 0 & 1
e pede para verificar se ela é diagonalizável e, em caso afirmativo, calcular a matriz diagonal D. O conteúdo é diagonalização de matrizes: precisamos obter o polinômio característico, encontrar seus autovalores e autovetores, checar as multiplicidades algébrica e geométrica e, finalmente, montar P e D tais que P^-1AP=D.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 0 & 1 0 & -1-lambda & 0 1 & 0 & 1-lambda
Como a segunda linha tem só o elemento -1-lambda não nulo, extraímos este fator:
det(A - lambda I) = (-1-lambda),det 1-lambda & 1 1 & 1-lambda
E
det 1-lambda & 1 1 & 1-lambda =(1-lambda)^2 - 1 =lambda^2 -2lambda
Logo
det(A - lambda I) = (-1-lambda),lambda(lambda-2) = -,(lambda+1),lambda,(lambda-2)
Os autovalores são
lambda1 = 0, lambda2 = 2, lambda3 = -1,
todos distintos.

Passo 3

Como os autovalores são distintos, em [\mathbb{R}^3) a multiplicidade geométrica de cada um é 1, suficiente para garantir diagonalização. Vamos achar os autovetores:
Para :
logo . Um autovetor não nulo é
Para :
logo . Um autovetor é
Para :
da primeira vem , logo e é livre. Um autovetor é

Passo 4

Os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes e formam a matriz de passagem
P = l[v1;;v2;;v3r] = -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0
Pela construção,
P^-1 A P = D
é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores na mesma ordem de v1,v2,v3.

Resposta

A é diagonalizável e, tomando a ordem lambda1=0, lambda2=2, lambda3=-1, obtemos
D = 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1

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