Responda e justifique: (i) A soma U+V é direta?
(ii) U+V=M2(R) ?
Passo 1
O enunciado define U=S=Xin M2(R):X=X^t (matrizes simétricas)
e
V=gl2a & a-b[6pt]0 & a+b:a,binRgr
Queremos (i) ver se a soma U+V é direta e (ii) verificar se U+V=M2(R).]
Passo 2
Caracterizamos a interseção Ucap V. Seja
X=2a & a-b[3pt]0 & a+bin V
e suponha que X seja simétrica, ou seja X=X^t. Então 1. Entradas fora da diagonal têm que bater:
(a - b)=0e 0=(a - b)
2. Ambas as condições dão a mesma equação a-b=0, logo b=a.]
Passo 3
Substituindo b=a na fórmula de X obtemos
X=2a & 0[3pt]0 & 2a=2a1&0[3pt]0&1=2aI
Portanto
Ucap V=,2aI:ainR
é um subespaço unidimensional, não só o vetor zero. Logo a soma não é direta, pois numa soma direta precisaríamos de ,Ucap V=0.]
Passo 4
Agora calculamos dimensões: dim U=3 (já que matrizes simétricas 2times2 têm 3 graus de liberdade), dim V=2 (parâmetros a,b),
e dim(Ucap V)=1.
Pela fórmula de Grassmann,
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)=3+2-1=4
Como dim M2(R)=4, segue que U+V é todo o espaço M2(R).
Resposta
(i) A soma não é direta, pois Ucap V=2aI:ainRneq0.
(ii) Sim, U+V=M2(R).