Encontre os autovalores e os autovetores correspondentes das matrizes abaixo:
[ccc4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores lambda e os autovetores não nulos v de
A = 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1
Isso envolve dois passos principais: (i) calcular o polinômio característico det(A-lambda I)=0 para obter os autovalores, (ii) para cada autovalor lambda, resolver (A-lambda I)v=0 para achar os autovetores.

Passo 2

Primeiro calculamos
A - lambda I = 4-lambda & 0 & 1 -2 & 1-lambda & 0 -2 & 0 & 1-lambda
e seu determinante por expansão na primeira linha:
det(A-lambda I) =(4-lambda)det1-lambda & 00 & 1-lambda +1cdotdet-2 & 1-lambda-2 & 0
Agora,
det1-lambda & 00 & 1-lambda=(1-lambda)^2,
det-2 & 1-lambda-2 & 0 =(-2)cdot0-(-2)(1-lambda)=2(1-lambda)
Logo
det(A-lambda I) =(4-lambda)(1-lambda)^2+2(1-lambda) =(1-lambda)l[(4-lambda)(1-lambda)+2r]
Expandindo o colchete:
(4-lambda)(1-lambda)+2 =underbracelambda^2-5lambda+4(4-lambda)(1-lambda)+2 =lambda^2-5lambda+6
Portanto
det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda^2-5lambda+6)

Passo 3

As raízes de det(A-lambda I)=0 são
1-lambda=0implies lambda=1,
lambda^2-5lambda+6=0implies(lambda-2)(lambda-3)=0implieslambda=2,3
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3

Passo 4

Para lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
A-I=3&0&1-2&0&0-2&0&0,
sistema
3x+z=0,;-2x=0,;-2x=0
As duas últimas dão x=0, então z=0 e y fica livre. Um autovetor é
v1=(0,1,0)^T

Passo 5

Para lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0:
A-2I=2&0&1-2&-1&0-2&0&-1,
sistema
2x+z=0,;-2x-y=0,;-2x-z=0
Da primeira vem z=-2x, da segunda y=-2x, a terceira é redundante. Tomando x=1, um autovetor é
v2=(1,-2,-2)^T

Passo 6

Para lambda=3 resolvemos (A-3I)v=0:
A-3I=1&0&1-2&-2&0-2&0&-2,
sistema
x+z=0,;-2x-2y=0,;-2x-2z=0
Da primeira z=-x, da segunda y=-x, a terceira é automática. Tomando x=1, um autovetor é
v3=(1,-1,-1)^T

Resposta

Autovalores e autovetores (cada coluna é um autovetor):
lambda1=1, v1=(0,1,0)^T; lambda2=2, v2=(1,-2,-2)^T; lambda3=3, v3=(1,-1,-1)^T

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