Considere os seguintes subconjuntos de R^4 :
U=(x, y, z, w): x+y=0 e z-w=0 e V=(x, y, z, w): x-y-z+w=0
Determine U cap V e U+V e exiba uma base para cada um destes subespaços.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subconjuntos de R^4:
U = (x, y, z, w) : x + y = 0 e z - w = 0
V = (x, y, z, w) : x - y - z + w = 0
O que a gente precisa fazer é encontrar a interseção desses dois conjuntos ( U cap V) e a soma deles ( U + V). Além disso, precisamos encontrar uma base para cada um desses subespaços. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são U cap V e U + V.
  • Interseção ( U cap V): Conjunto dos vetores que estão tanto em U quanto em V.
  • Soma ( U + V): Conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos somando um vetor de U com um vetor de V.

Passo 3

Vamos começar encontrando U cap V. Para isso, precisamos achar os vetores que satisfazem as condições de U e de V ao mesmo tempo.
Temos as equações:
x + y = 0 z - w = 0 x - y - z + w = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, da primeira equação, temos:
x = -y
Da segunda equação:
z = w
Agora, substituímos x = -y e z = w na terceira equação:
(-y) - y - w + w = 0 -2y = 0 y = 0

Passo 5

Com y = 0, substituímos de volta para encontrar x:
x = -0 = 0
E já sabemos que z = w. Portanto, os vetores em U cap V são:
(x, y, z, w) = (0, 0, z, z) onde z é qualquer número real éú

Passo 6

Podemos expressar esses vetores como múltiplos de um vetor específico:
(0, 0, z, z) = z cdot (0, 0, 1, 1)
Isso significa que U cap V é gerado pelo vetor (0, 0, 1, 1).

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma base para U cap V. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o subespaço.
Como U cap V é formado por todos os múltiplos de (0, 0, 1, 1), uma base para U cap V é:
, (0, 0, 1, 1) ,

Passo 8

Agora, vamos encontrar U + V. Para isso, precisamos encontrar todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de U e um vetor de V.
Vamos considerar:
Seja u = (x, y, z, w) in U e v = (a, b, c, d) in V
Então, u + v = (x + a, y + b, z + c, w + d)

Passo 9

Como u in U, temos:
x + y = 0 implies x = -y z - w = 0 implies z = w
E como v in V:
a - b - c + d = 0 implies a = b + c - d

Passo 10

Agora, expressamos u + v:
(x + a, y + b, z + c, w + d) = (-y + (b + c - d), y + b, w + c, w + d)

Passo 11

Podemos reescrever isso em termos de variáveis livres:
=-y + b + c - d =y + b =w + c =w + d
Vamos considerar y, b, w, c, e d como variáveis livres.

Passo 12

Mas para simplificar, vamos expressar U + V em termos das variáveis livres. Observando as expressões, vemos que podemos parametrizar os vetores de U + V como:
(y, b, w, d) com as relações: x = -y + b + c - d z = w + c çõ
Isso indica que U + V é de dimensão 3.

Passo 13

Vamos escolher valores para as variáveis livres para encontrar uma base para U + V. Por exemplo:
  1. Se y = 1, b = 0, w = 0, d = 0:
x = -1 + 0 + c - 0 = -1 + c z = 0 + c = c
Para simplificar, tomamos c = 0:
v1 = (-1, 1, 0, 0)
  1. Se y = 0, b = 1, w = 0, d = 0:
x = -0 + 1 + c - 0 = 1 + c z = 0 + c = c
Para simplificar, tomamos c = 0:
v2 = (1, 0, 0, 0)
  1. Se y = 0, b = 0, w = 1, d = 0:
x = -0 + 0 + c - 0 = c z = 1 + c
Para simplificar, tomamos c = 0:
v3 = (0, 0, 1, 1)

Passo 14

Portanto, uma base para U + V é:
, (-1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1) ,

Resposta

A interseção U cap V é o conjunto de vetores da forma (0, 0, z, z), e uma base para U cap V é , (0, 0, 1, 1) ,.
A soma U + V é um subespaço de dimensão 3 de R^4, e uma base para U + V é , (-1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1) ,.

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