Considere os seguintes subconjuntos de M2(R) :
S=X in M2(R): X=X^t e V=[cc 2 a & a-b 0 & a+b ]: a, b in R
Verifique que U e V são subespaços vetoriais de M2(R).

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial M2(R) das matrizes 2times2 reais e define dois subconjuntos
S=Xin M2(R):X=X^ t
e
V=l2a & a-b0 & a+b:a,binRr
Para mostrar que S e V são subespaços vetoriais de M2(R), basta verificar que cada um contém a matriz zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostrando que S é subespaço.
  1. A matriz zero 0=0&00&0 satisfaz 0=0^ t, logo 0in S.
  2. Fechamento sob soma: se X e Y são simétricas, ou seja X=X^ t e Y=Y^ t, então
(X+Y)^ t=X^ t+Y^ t=X+Y,
logo X+Yin S.
3. Fechamento sob escalar: para lambdainR e X=X^ t,
(lambda X)^ t=lambda X^ t=lambda X,
logo lambda Xin S.

Passo 3

Mostrando que V é subespaço.
  1. Para a=0 e b=0 a matriz em V é
2cdot0 & 0-00 & 0+0 =0&00&0,
logo 0in V.
2. Fechamento sob soma: sejam
X=2a & a-b0 & a+bin V, Y=2a' & a'-b'0 & a'+b'in V
Então
X+Y =2(a+a') & (a+a')-(b+b')0 & (a+a')+(b+b'),
que corresponde a (a+a',,b+b'), logo X+Yin V.
3. Fechamento sob escalar: para lambdainR,
lambda X =2(lambda a) & lambda a-lambda b0 & lambda a+lambda b,
que corresponde a (lambda a,,lambda b), logo lambda Xin V.

Resposta

Tanto S quanto V satisfazem os três critérios (contêm a matriz zero, são fechados sob soma e escalar), logo são subespaços vetoriais de M2(R).

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