Considere os seguintes subconjuntos de
:
Responda e justifique: (i) a soma
é direta? (ii)
?
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
A tarefa é (i) verificar se
é soma direta e (ii) checar se
. Vamos usar parametrização, interseção de subespaços e a fórmula de dimensões.
Passo 2
Parametrizamos
resolvendo
e
. Escrevemos
logo
Uma base natural é, por exemplo,
então
.
Passo 3
Para
resolvemos
, ou seja
Logo um vetor genérico em
é
e uma base é, por exemplo,
portanto
.
Passo 4
Para achar
impomos simultaneamente
Substituindo em
temos
Logo
e
fica livre. Assim
que tem dimensão
. Como há vetores não nulos na interseção, a soma não é direta.
Passo 5
Usamos a fórmula de Grassmann para a soma:
Como
e tem dimensão
, segue que
.
Resposta
(i)
não é direto.
(ii) .
(ii)