Considere os seguintes subconjuntos de R^4 :
U=(x, y, z, w): x+y=0 e z-w=0 e V=(x, y, z, w): x-y-z+w=0
Responda e justifique: (i) a soma U+V é direta? (ii) U+V=R^4 ?

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^4:
U=(x,y,z,w)mid x+y=0,;z-w=0, V=(x,y,z,w)mid x-y-z+w=0
A tarefa é (i) verificar se U+V é soma direta e (ii) checar se U+V=R^4. Vamos usar parametrização, interseção de subespaços e a fórmula de dimensões.

Passo 2

Parametrizamos U resolvendo x+y=0 e z-w=0. Escrevemos
y=-x, w=z,
logo
U=(x,-x,z,z)mid x,zinR
Uma base natural é, por exemplo,
u1=(1,-1,0,0), u2=(0,0,1,1),
então dim(U)=2.

Passo 3

Para V resolvemos x-y-z+w=0, ou seja
x= y+z - w
Logo um vetor genérico em V é
(y+z-w,;y,;z,;w) = y,(1,1,0,0)+z,(1,0,1,0)+w,(-1,0,0,1)
e uma base é, por exemplo,
v1=(1,1,0,0), v2=(1,0,1,0), v3=(-1,0,0,1),
portanto dim(V)=3.

Passo 4

Para achar Ucap V impomos simultaneamente
(x,y,z,w)=(x,-x,z,z)in U e x-y-z+w=0
Substituindo em x-y-z+w=0 temos
x - (-x) - z + z = 2x = 0 ;Longrightarrow; x=0,
Logo y=-x=0 e w=z fica livre. Assim
Ucap V = (0,0,z,z)mid zinR,
que tem dimensão 1. Como há vetores não nulos na interseção, a soma não é direta.

Passo 5

Usamos a fórmula de Grassmann para a soma:
dim(U+V) =dim(U)+dim(V)-dim(Ucap V) =2+3-1=4
Como U+VsubseteqR^4 e tem dimensão 4, segue que U+V=R^4.

Resposta

(i) U+V não é direto.
(ii) U+V=R^4.

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