Sejam
onde trrepresenta o traço de uma matriz. E
- Verificar que
e
são subespaços de
.
Passo 1
O enunciado define dois conjuntos de matrizes em
:
Queremos mostrar que cada um é um subespaço de
. Para isso, basta verificar três propriedades em cada caso:
- contém a matriz nula;
- fechado sob soma;
- fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação para
:
- Matriz nula
tem , logo . - Sejam
. Então e . Como a função traço é linear,
logo
.
3. Para e
,
3. Para
logo
.
Assim,
satisfaz as três condições e é subespaço.
Passo 3
Verificação para
:
- A matriz nula tem entradas
, sem restrição em , então . - Seja
com
e
. Então
As três primeiras entradas continuam iguais (
), logo
.
3. Para ,
3. Para
e novamente as três primeiras entradas são iguais (
), de modo que
.
Assim,
também satisfaz as três condições e é subespaço.
Resposta
Tanto
quanto
são subespaços de
.