Sejam
U=A in M2 times 2: tr(A)=0
onde trrepresenta o traço de uma matriz. E
W=[ll a & b c & d ] in M2 times 2: a=b=c
  1. Verificar que U e W são subespaços de M2 times 2.

Passo 1

O enunciado define dois conjuntos de matrizes em M2times2:
U=AinM2times2:tr(A)=0,
W=la & b c & dinM2times2:a=b=cr
Queremos mostrar que cada um é um subespaço de M2times2. Para isso, basta verificar três propriedades em cada caso:
  1. contém a matriz nula;
  2. fechado sob soma;
  3. fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação para U:
  1. Matriz nula 0=0&00&0 tem tr(0)=0, logo 0in U.
  2. Sejam A,Bin U. Então tr(A)=0 e tr(B)=0. Como a função traço é linear,
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0+0=0,
logo A+Bin U.
3. Para lambdainR e Ain U,
tr(lambda A)=lambda,tr(A)=lambdacdot0=0,
logo lambda Ain U.
Assim, U satisfaz as três condições e é subespaço.

Passo 3

Verificação para :
  1. A matriz nula tem entradas , sem restrição em , então .
  2. Seja
com e . Então
As três primeiras entradas continuam iguais ( ), logo .
3. Para ,
e novamente as três primeiras entradas são iguais ( ), de modo que .
Assim, também satisfaz as três condições e é subespaço.

Resposta

Tanto U quanto W são subespaços de M2times2.

Exercícios relacionados