Considere os seguintes subespaços de R^3
W1=(x, y, z) in R^3: x-2 y+z=0 e W2=[(1,1,1),(1,-1,2),(0,2,-1)]
Determine W1 cap W2.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^3:
,W1=(x,y,z)mid x-2y+z=0, um plano passando pela origem, e
,W2=span(1,1,1),,(1,-1,2),,(0,2,-1).
Queremos achar a interseção W1cap W2. O conteúdo é interseção de planos em R^3, que normalmente dá uma reta (ou só o vetor zero).

Passo 2

Primeiro note que os três vetores de W2 são linearmente dependentes, pois
det 1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 1 & 2 & -1 =0
De fato encontra-se
(0,2,-1)=(1,1,1)-(1,-1,2),
logo basta usar os geradores v1=(1,1,1) e v2=(1,-1,2).
Um vetor genérico de W2 é
w=a,v1+b,v2 =(a+b,;a-b,;a+2b)

Passo 3

Para w estar em W1 precisa valer
x-2y+z=0
Substituindo (x,y,z)=(a+b,;a-b,;a+2b)
(a+b)-2(a-b)+(a+2b) = a+b -2a+2b +a+2b =5b
Então a condição é 5b=0, ou seja b=0.

Passo 4

Com b=0 obtemos w=a,(1,1,1). Portanto toda interseção é a reta gerada por (1,1,1).

Resposta

W1 cap W2 =,t,(1,1,1)mid tinR

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