Determine a equação geral do plano perpendicular à reta r: ly=3 x+2 z=4 x-12
e que contenha o ponto A(3,1,2).

Passo 1

O enunciado dá a reta
e pede a equação geral do plano que é perpendicular a . Em geometria analítica, um plano perpendicular a uma reta tem como vetor normal o vetor diretor dessa reta.

Passo 2

Para encontrar o vetor diretor de r, escrevemos uma parametrização em que x=t. Então
(x,y,z) = l(t,;3t+2,;4t-tfrac12r)
O coeficiente de t em cada coordenada dá o vetor diretor
vec v = (1,,3,,4)

Passo 3

Como o plano deve ser perpendicular a r, seu vetor normal vec n pode ser escolhido igual ao vetor diretor de r. Logo
vec n = (1,,3,,4)

Passo 4

A equação de um plano com vetor normal vec n=(a,b,c) que passa pelo ponto (x0,y0,z0) é
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
Aqui a=1, b=3, c=4 e (x0,y0,z0)=(3,1,2). Substituindo:
1,(x-3) + 3,(y-1) + 4,(z-2) = 0

Passo 5

Expandindo e coletando termos, obtemos
x - 3 + 3y - 3 + 4z - 8 = 0 Longrightarrow x + 3y + 4z - 14 = 0

Resposta

x + 3y + 4z - 14 = 0

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