1. Sejam W1=(a, b, c) ; a+b+c=0, W2=(a, b, c) ; a=c os subespaços de R^3. Determine:
    a) W1 cap W2
    b) W1 cup W2
    c) W1+W2. Após, responda: W1+W2 é soma direta? Justifique!

Passo 1

O exercício trata dos subespaços de R^3 definidos por
W₁ = {(a,b,c) : a+b+c=0} e W₂ = {(a,b,c) : a=c}. Precisamos encontrar a interseção, a união, a soma e verificar se a soma é direta. Vamos usar definições de interseção, união e soma de subespaços, além da fórmula de dimensão e da definição de soma direta.

Passo 2

Para calcular W₁ cap W₂, imponho as duas condições simultaneamente:
a = c,
e
a + b + c = 0
Substituindo c=a na segunda equação vem
a + b + a = 0 implies 2a + b = 0 implies b = -2a
Logo todo vetor em W₁ cap W₂ é da forma (a,-2a,a), isto é
W₁ cap W₂ = (t, -2t, t) : t in R = span(1,-2,1)

Passo 3

A união
W₁ cup W₂
é simplesmente o conjunto de vetores que satisfazem ou a+b+c=0 ou a=c. Em geral essa união não é subespaço, pois não é fechada sob soma.

Passo 4

Para achar
W₁ + W₂
lembramos que
dim(W₁ + W₂) = dim W₁ + dim W₂ - dim(W₁ cap W₂)
Como cada um dos subespaços é definido por uma única equação linear, temos dim W₁ = 2 e dim W₂ = 2, e já vimos que dim(W₁ cap W₂)=1. Logo
dim(W₁ + W₂) = 2 + 2 - 1 = 3
Num espaço de dimensão 3 isso implica
W₁ + W₂ = R^3

Passo 5

A soma é direta se e só se W₁ cap W₂ = (0,0,0). Mas como encontramos
W₁ cap W₂ = span(1,-2,1) neq 0,
a soma não é direta.

Resposta

a) W₁ cap W₂ = (t,-2t,t):tinR = span(1,-2,1) b) W₁ cup W₂ = (a,b,c):a+b+c=0 ;ou; a=c c) W₁+W₂=R^3 A soma não é direta, pois W₁ cap W₂ contém vetores não nulos.

Exercícios relacionados