- Sejam
os subespaços de
. Determine:
a)
b)
c)
. Após, responda:
é soma direta? Justifique!
a)
b)
c)
Passo 1
O exercício trata dos subespaços de
definidos por
W₁ = {(a,b,c) : a+b+c=0} e W₂ = {(a,b,c) : a=c}. Precisamos encontrar a interseção, a união, a soma e verificar se a soma é direta. Vamos usar definições de interseção, união e soma de subespaços, além da fórmula de dimensão e da definição de soma direta.
W₁ = {(a,b,c) : a+b+c=0} e W₂ = {(a,b,c) : a=c}. Precisamos encontrar a interseção, a união, a soma e verificar se a soma é direta. Vamos usar definições de interseção, união e soma de subespaços, além da fórmula de dimensão e da definição de soma direta.
Passo 2
Para calcular
, imponho as duas condições simultaneamente:
e
Substituindo
na segunda equação vem
Logo todo vetor em
é da forma
, isto é
Passo 3
A união
é simplesmente o conjunto de vetores que satisfazem ou
ou
. Em geral essa união não é subespaço, pois não é fechada sob soma.
Passo 4
Para achar
lembramos que
Como cada um dos subespaços é definido por uma única equação linear, temos
e
, e já vimos que
. Logo
Num espaço de dimensão 3 isso implica
Passo 5
A soma é direta se e só se
. Mas como encontramos
a soma não é direta.
Resposta
a)
b)
c)
A soma não é direta, pois
contém vetores não nulos.