1. Sejam W1=[lla & b 0 & 0] e W2=[ll0 & 0 c & d], onde a, b, c, d in R, subespaços vetoriais de M(2,2).
Determine:
a) W1 cap W2
b) W1 cup W2
c) W1+W2. Após, responda: W1+W2 é soma direta? Justifique!

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com dois subespaços de M(2,2):
W₁ é o espaço das matrizes cuja segunda linha é zero e W₂ é o espaço das matrizes cuja primeira linha é zero. Precisamos encontrar a interseção, a união e a soma desses subespaços, e ainda checar se a soma é direta (ou seja, se W₁ ∩ W₂ = {0}).

Passo 2

Para achar W₁ ∩ W₂, procuramos matrizes que pertençam simultaneamente a W₁ e a W₂. Uma matriz em W₁ tem forma
e uma matriz em W₂ tem forma
Para pertencer a ambas, todos os elementos têm de coincidir, o que força a = b = c = d = 0. Logo, W₁ ∩ W₂ = {0}.

Passo 3

A união W₁ ∪ W₂ é simplesmente o conjunto de todas as matrizes que estão em W₁ ou em W₂. Podemos descrever:
Note que W₁ ∪ W₂ não é subespaço, pois a soma de uma matriz de W₁ com uma de W₂ geralmente não está nem em W₁ nem em W₂ isoladamente.

Passo 4

Para W₁ + W₂, lembramos que
Tomando
temos
Como a, b, c, d são livres em \mathbb{R}, qualquer matriz 2×2 pode ser escrita dessa forma. Logo,

Passo 5

Para verificar que W₁ + W₂ é soma direta, bastou checar que W₁ ∩ W₂ = {0}. Como é verdade, concluímos que
W₁ oplus W₂ = M(2,2)

Resposta

a) W₁ ∩ W₂ = {0}
b) W₁ ∪ W₂ = {[[a b],[0 0]] : a,b∈ℝ} ∪ {[[0 0],[c d]] : c,d∈ℝ}
c) W₁ + W₂ = M(2,2), e a soma é direta, pois W₁ ∩ W₂ = {0}.

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