Considere os seguintes subespaços de V=R^3
U=(x, y, z) in R^3 mid x=y e W=>=r((1,3,-1) ;(1,1,-1) ;(0,2,0))
Determine uma base e a dimensão de U e W

Passo 1

O enunciado pede base e dimensão de dois subespaços de V=R^3:
U=(x,y,z)inR^3mid x=y e W=>=rl((1,3,-1);,(1,1,-1);,(0,2,0)r).
O conteúdo é Espaços Vetoriais: para cada subespaço vamos encontrar um sistema de coordenadas livres e extrair um conjunto gerador minimalmente independente.

Passo 2

Para U impomos a condição x=y. Seja s=x=y e t=z; então qualquer vetor de U tem a forma
(x,y,z)=(s,s,t)=s,(1,1,0)+t,(0,0,1)
Como (1,1,0) e (0,0,1) são claramente independentes, elas formam uma base de U. Logo
base de U=(1,1,0),(0,0,1) e dim U=2.

Passo 3

No caso de W, denotemos
v1=(1,3,-1), v2=(1,1,-1), v3=(0,2,0)
Calculamos
v1-v2=(1-1,,3-1,,-1-(-1))=(0,2,0)=v3,
mostrando que v3 é combinação linear de v1 e v2. Resta verificar que v1 e v2 não são múltiplos um do outro, o que é falso, pois exigiria uma constante k tal que
,(1,3,-1)=k,(1,1,-1), o que levaria a 3=kcdot1 e -1=kcdot(-1), isto é, k=3 e k=1 ao mesmo tempo. Contradição. Portanto v1,v2 é independente e gera W. Assim
base de W=(1,3,-1),(1,1,-1) e dim W=2.

Resposta

U: base (1,1,0),(0,0,1), dim U=2
W: base (1,3,-1),(1,1,-1), dim W=2

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