Considere os seguintes subespaços de
Determine uma base e a dimensão de
e
Passo 1
O enunciado pede base e dimensão de dois subespaços de
:
e
.
O conteúdo é Espaços Vetoriais: para cada subespaço vamos encontrar um sistema de coordenadas livres e extrair um conjunto gerador minimalmente independente.
O conteúdo é Espaços Vetoriais: para cada subespaço vamos encontrar um sistema de coordenadas livres e extrair um conjunto gerador minimalmente independente.
Passo 2
Para
impomos a condição
. Seja
e
; então qualquer vetor de
tem a forma
Como
e
são claramente independentes, elas formam uma base de
. Logo
base de e
.
base de
Passo 3
No caso de
, denotemos
Calculamos
mostrando que
é combinação linear de
e
. Resta verificar que
e
não são múltiplos um do outro, o que é falso, pois exigiria uma constante
tal que
, o que levaria a
e
, isto é,
e
ao mesmo tempo. Contradição. Portanto
é independente e gera
. Assim
base de e
.
base de
Resposta
U: base
,
W: base ,
W: base