Decida em cada caso se o vetor W é uma combinação linear de U e V. Em cada item abaixo, justifique de alguma forma a sua resposta (apenas um sim ou um não não será suficiente!).
O vetor W=(2,3) é uma combinação linear dos vetores U=(2,0) e V=(3,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a tarefa de descobrir se o vetor W = (2,3) pode ser formado usando combinações lineares dos vetores U = (2,0) e V = (3,0). Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente de combinações lineares. Para resolver isso, vamos precisar saber como combinar vetores usando escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é combinação linear. Um vetor W é uma combinação linear de U e V se existirem números (escalares) a e b tais que:
W = aU + bV
No nosso caso:
(2,3) = a(2,0) + b(3,0)

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os escalares pelos vetores:
a(2,0) = (2a, 0) b(3,0) = (3b, 0)
Somando esses dois vetores:
(2a, 0) + (3b, 0) = (2a + 3b, 0)

Passo 4

Queremos que isso seja igual a (2,3), então vamos igualar as componentes:
2a + 3b = 2 (componente x) 0 = 3 (componente y)

Passo 5

A segunda equação, 0 = 3, é impossível de ser verdadeira. Isso significa que não existe nenhum par de números a e b que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo.

Resposta

Não, o vetor W = (2,3) não é uma combinação linear dos vetores U = (2,0) e V = (3,0) porque não existe nenhum par de escalares que satisfaça as equações necessárias.

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