Decida em cada caso se o vetor W é uma combinação linear de U e V. Em cada item abaixo, justifique de alguma forma a sua resposta (apenas um sim ou um não não será suficiente!).
O vetor W=(0,0,7) é uma combinação linear dos vetores U=(1,2,0) e V=(3,1,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se o vetor W = (0, 0, 7) pode ser obtido como uma combinação linear dos vetores U = (1, 2, 0) e V = (3, 1, 0). Isso envolve conceitos de álgebra linear, especialmente combinação linear e sistemas de equações. Vamos precisar usar equações para ver se conseguimos encontrar coeficientes que atendam a essa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que W é uma combinação linear de U e V se existirem números (coeficientes) a e b tais que:
aU + bV = W
Substituindo os vetores, temos:
a(1, 2, 0) + b(3, 1, 0) = (0, 0, 7)
Isso dá para a gente um sistema de equações:
  1. a cdot 1 + b cdot 3 = 0
  2. a cdot 2 + b cdot 1 = 0
  3. a cdot 0 + b cdot 0 = 7

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. A terceira equação fica:
0a + 0b = 7
Ou seja:
0 = 7
Isso é uma contradição, porque zero nunca será igual a sete. Essa equação não tem solução.

Passo 4

Como uma das equações do sistema não tem solução, não existe nenhum par de números a e b que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, não dá para expressar W como uma combinação linear de U e V.

Resposta

Não, o vetor W = (0, 0, 7) não é uma combinação linear dos vetores U = (1, 2, 0) e V = (3, 1, 0), pois o sistema de equações resultante não possui solução.

Exercícios relacionados