Decida em cada caso se o vetor
é uma combinação linear de
e
. Em cada item abaixo, justifique de alguma forma a sua resposta (apenas um sim ou um não não será suficiente!).
O vetor
é uma combinação linear dos vetores
e
?
O vetor
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem três vetores
,
e
, e queremos saber se o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Basicamente, isso significa verificar se dá para multiplicar cada um dos vetores
por certos números e somar tudo para chegar no vetor
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o de combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Dizemos que
é uma combinação linear de
,
e
se existem números (escalares)
,
e
tais que:
Substituindo os vetores pelos seus valores, temos:
Passo 3
Vamos fazer as multiplicações escalares:
Agora, somando essas três componentes:
Passo 4
Comparando com o vetor
, queremos que:
O que nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema, encontramos que:
Isso significa que os escalares
,
e
existem e satisfazem as equações.
Resposta
Sim, o vetor
é uma combinação linear dos vetores
,
e
, já que existem os escalares
,
e
que satisfazem a relação
.