Decida em cada caso se o vetor W é uma combinação linear de U e V. Em cada item abaixo, justifique de alguma forma a sua resposta (apenas um sim ou um não não será suficiente!).
O vetor W=(1,2,-3) é uma combinação linear dos vetores U1=(1,0,0), U2=(0,1,0) e U3=(0,0,1) ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem três vetores U1=(1,0,0), U2=(0,1,0) e U3=(0,0,1), e queremos saber se o vetor W=(1,2,-3) pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Basicamente, isso significa verificar se dá para multiplicar cada um dos vetores U por certos números e somar tudo para chegar no vetor W. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o de combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Dizemos que W é uma combinação linear de U1, U2 e U3 se existem números (escalares) a, b e c tais que:
W = aU1 + bU2 + cU3
Substituindo os vetores pelos seus valores, temos:
(1,2,-3) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1)

Passo 3

Vamos fazer as multiplicações escalares:
a(1,0,0) = (a, 0, 0)
b(0,1,0) = (0, b, 0)
c(0,0,1) = (0, 0, c)
Agora, somando essas três componentes:
(a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) = (a, b, c)

Passo 4

Comparando com o vetor W = (1,2,-3), queremos que:
(a, b, c) = (1, 2, -3)
O que nos dá o seguinte sistema de equações:
a = 1
b = 2
c = -3

Passo 5

Resolvendo o sistema, encontramos que:
a = 1
b = 2
c = -3
Isso significa que os escalares a, b e c existem e satisfazem as equações.

Resposta

Sim, o vetor W=(1,2,-3) é uma combinação linear dos vetores U1, U2 e U3, já que existem os escalares a=1, b=2 e c=-3 que satisfazem a relação W = 1U1 + 2U2 - 3U3.

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