Decida em cada caso se o vetor é uma combinação linear de e . Em cada item abaixo, justifique de alguma forma a sua resposta (apenas um sim ou um não não será suficiente!).
O vetor é uma combinação linear dos vetores e ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e resolução de sistemas de equações. Pra resolver isso, a gente vai precisar montar um sistema de equações onde os coeficientes são as incógnitas que representam quanto cada vetor contribui para formar .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Dizemos que é uma combinação linear dos vetores , e se existirem números (coeficientes) , e tais que:
Isso quer dizer que:
Passo 3
Agora, vamos expandir a combinação linear:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver cada equação para encontrar os valores de a, b e c.
Da primeira equação: 2a = 2020
Dividindo os dois lados por 2: a = 20202 = 1010
Da segunda equação: b = 2021
Não precisa resolver, já temos o valor de b.
Da terceira equação: 3c = 2022
Dividindo os dois lados por 3: c = 20223 = 674
Passo 5
Encontramos que a = 1010, b = 2021 e c = 674. Isso significa que podemos escrever W como:
W = 1010 U1 + 2021 U2 + 674 U3
Resposta
Sim, o vetor W = (2020, 2021, 2022) é uma combinação linear dos vetores U1, U2 e U3, dado que existem os coeficientes a = 1010, b = 2021 e c = 674 que satisfazem a relação W = 1010 U1 + 2021 U2 + 674 U3.