Decida em cada caso se o vetor W é uma combinação linear de U e V. Em cada item abaixo, justifique de alguma forma a sua resposta (apenas um sim ou um não não será suficiente!).
O vetor W=(2020,2021,2022) é uma combinação linear dos vetores U1=(2,0,0), U2=(0,1,0) e U3=(0,0,3) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se o vetor W = (2020, 2021, 2022) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores U1 = (2, 0, 0), U2 = (0, 1, 0) e U3 = (0, 0, 3). Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e resolução de sistemas de equações. Pra resolver isso, a gente vai precisar montar um sistema de equações onde os coeficientes são as incógnitas que representam quanto cada vetor U contribui para formar W.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Dizemos que W é uma combinação linear dos vetores U1, U2 e U3 se existirem números (coeficientes) a, b e c tais que:
W = a U1 + b U2 + c U3
Isso quer dizer que:
(2020, 2021, 2022) = a(2, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 3)

Passo 3

Agora, vamos expandir a combinação linear:
(2020, 2021, 2022) = (2a, 0b, 0c) + (0a, b, 0c) + (0a, 0b, 3c) = (2a, b, 3c)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2a = 2020 b = 2021 3c = 2022

Passo 4

Vamos resolver cada equação para encontrar os valores de a, b e c.
  1. Da primeira equação: 2a = 2020
    Dividindo os dois lados por 2:
    a = 20202 = 1010
  2. Da segunda equação: b = 2021
    Não precisa resolver, já temos o valor de b.
  3. Da terceira equação: 3c = 2022
    Dividindo os dois lados por 3:
    c = 20223 = 674

Passo 5

Encontramos que a = 1010, b = 2021 e c = 674. Isso significa que podemos escrever W como:
W = 1010 U1 + 2021 U2 + 674 U3

Resposta

Sim, o vetor W = (2020, 2021, 2022) é uma combinação linear dos vetores U1, U2 e U3, dado que existem os coeficientes a = 1010, b = 2021 e c = 674 que satisfazem a relação W = 1010 U1 + 2021 U2 + 674 U3.

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