Considere os seguintes subespaços de R^3 :
U=(x, y, z) in R^3 mid x=y+z, W=(x, y, z) in R^3 mid x+y-2 z=0
Determine uma base e a dimensão dos subespaços
U, V, U+V, U cap W
(Obs.: na prova original aparece " U, V^prime prime; adote aqui V=W ou, se preferir, reescreva como U, W, U+ W, U cap W.)

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^3 por equações lineares:
U=(x,y,z)mid x=y+z, W=(x,y,z)mid x+y-2z=0
Precisamos achar uma base e a dimensão de U, de W, de U+W e de Ucap W. Para isso vamos usar a ideia de parametrizar cada subespaço, exibindo vetores livres, e depois ver quantos são independentes.

Passo 2

Caracterizando U por x=y+z, deixamos y e z livres. Se y=s e z=t então
(x,y,z)=(s+t,s,t)=s,(1,1,0)+t,(1,0,1)
Assim (1,1,0),(1,0,1) gera U e é LI. Logo
dim(U)=2, base de U=(1,1,0),(1,0,1)

Passo 3

Em W temos x+y-2z=0, deixamos y=u, z=v. Então
x=-y+2z=-u+2v,
(x,y,z)=(-u+2v,u,v)=u,(-1,1,0)+v,(2,0,1)
Logo (-1,1,0),(2,0,1) é base de W e
dim(W)=2

Passo 4

Para U+W pegamos o conjunto gerador (1,1,0),(1,0,1),(-1,1,0),(2,0,1). Já que (1,1,0) e (1,0,1) são LI e (-1,1,0) não é combinação linear delas, podemos extrair três vetores LI em R^3. Assim
dim(U+W)=3
e portanto U+W=R^3. Uma possível base de U+W é
(1,1,0),(1,0,1),(-1,1,0).

Passo 5

Para
Substituindo , logo . Então e
Isso mostra que é gerado por e

Resposta

U: base (1,1,0),(1,0,1), dim(U)=2.
W: base (-1,1,0),(2,0,1), dim(W)=2.
U+W: base (1,1,0),(1,0,1),(-1,1,0), dim(U+W)=3.
Ucap W: base (3,1,2), dim(Ucap W)=1.

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