Considere os seguintes subespaços de
:
Determine uma base e a dimensão dos subespaços
(Obs.: na prova original aparece "
; adote aqui
ou, se preferir, reescreva como
.)
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
por equações lineares:
Precisamos achar uma base e a dimensão de
, de
, de
e de
. Para isso vamos usar a ideia de parametrizar cada subespaço, exibindo vetores livres, e depois ver quantos são independentes.
Passo 2
Caracterizando
por
, deixamos
e
livres. Se
e
então
Assim
gera
e é LI. Logo
Passo 3
Em
temos
, deixamos
,
. Então
Logo
é base de
e
Passo 4
Para
pegamos o conjunto gerador
. Já que
e
são LI e
não é combinação linear delas, podemos extrair três vetores LI em
. Assim
e portanto
. Uma possível base de
é
.
Passo 5
Para
Substituindo dá
, logo
. Então
e
Isso mostra que
é gerado por
e