Desenhar as curvas ou superficies de nível dos seguientes campos escalares
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as superfícies de nível do campo escalar
Conteúdo: superfícies de nível em
. Vamos usar o conceito de superfícies de nível definidas por
que aqui serão equações de planos.
Passo 2
Definimos a superfície de nível associada ao valor real
como
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Reescrevendo a equação em forma mais padrão, isolamos a parte linear:
Para cada constante
isso é a equação de um plano em
.
Passo 4
O vetor normal a todos esses planos é dado pelo gradiente de
:
Como
não depende de
, todas as superfícies de nível são planos paralelos entre si, ortogonais a
.
Passo 5
Para visualizar, note que se
varia, o termo
desloca o plano ao longo da direção do vetor normal.
Por exemplo:
Por exemplo:
São três planos paralelos, igualmente espaçados.
Passo 6
Geometricamente, cada plano
intercepta os eixos em pontos que satisfazem as outras duas coordenadas nulas. Ex.: no plano
, o intercepto em
é
, em
é
e em
é
. Isso ajuda a esboçar cada superfície de nível.
Resposta
As superfícies de nível de
são os planos paralelos dados por
ou equivalentemente
para cada valor real
.