Desenhar as curvas ou superficies de nível dos seguientes campos escalares f.
f: R^3 R, f(x, y, z)=x-y-z+2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as superfícies de nível do campo escalar
fcolon R^3toR, f(x,y,z)=x - y - z + 2
Conteúdo: superfícies de nível em R^3. Vamos usar o conceito de superfícies de nível definidas por
f(x,y,z)=k,
que aqui serão equações de planos.

Passo 2

Definimos a superfície de nível associada ao valor real k como
Sk=(x,y,z)inR^3 mid f(x,y,z)=k
Substituindo f(x,y,z), obtemos
Sk=(x,y,z)mid x - y - z + 2 = k

Passo 3

Reescrevendo a equação em forma mais padrão, isolamos a parte linear:
x - y - z = k - 2
Para cada constante k isso é a equação de um plano em R^3.

Passo 4

O vetor normal a todos esses planos é dado pelo gradiente de f:
nabla f = (1,,-1,,-1)
Como nabla f não depende de (x,y,z), todas as superfícies de nível são planos paralelos entre si, ortogonais a (1,-1,-1).

Passo 5

Para visualizar, note que se k varia, o termo k-2 desloca o plano ao longo da direção do vetor normal.
Por exemplo:
k=0 &: ; x - y - z = -2, k=2 &: ; x - y - z = 0(plano que passa pela ori>=m), k=4 &: ; x - y - z = 2
São três planos paralelos, igualmente espaçados.

Passo 6

Geometricamente, cada plano x - y - z = c intercepta os eixos em pontos que satisfazem as outras duas coordenadas nulas. Ex.: no plano x - y - z = d, o intercepto em x é (d,0,0), em y é (0,-d,0) e em z é (0,0,-d). Isso ajuda a esboçar cada superfície de nível.

Resposta

As superfícies de nível de f são os planos paralelos dados por
x - y - z + 2 = k,
ou equivalentemente
x - y - z = k - 2,
para cada valor real k.

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