Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada
x^2+y^2+z^2=9 z

Passo 1

Neste exercício queremos converter a equação cartesiana x²+y²+z²=9z para coordenadas esféricas; o conteúdo é transformação de coordenadas e vamos precisar das definições de (ρ,θ,φ) em esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos:
x = rho sinvarphi costheta, y = rho sinvarphi sintheta, z = rho cosvarphi,
além da relação x^2+y^2+z^2=rho^2.

Passo 3

Substituindo na equação cartesiana x^2+y^2+z^2=9z obtemos:
rho^2 = 9rhocosvarphi

Passo 4

Dividindo ambos os lados por rho (descartando a solução trivial rho=0) resulta:
rho = 9cosvarphi,
e como rho>=0 precisamos de cosvarphi>=0, ou seja varphiin[0,pi/2].

Resposta

rho = 9cosvarphi

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