Mostre que se
e
são subespaços do espaço vetorial
(sobre o corpo
), então a interseção definida como
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Estamos em um espaço vetorial
sobre um corpo
e
e
são subespaços de
. Definimos
Queremos mostrar que
também satisfaz as três propriedades de subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que
contém o vetor zero. Como
é subespaço,
. Como
é subespaço,
. Logo
Assim
não é vazio e já tem o zero, condição básica de subespaço.
Passo 3
Mostramos a fechadura sob soma. Sejam
. Então
Como
e
são subespaços, eles são fechados sob soma, logo
Daí
mostrando que a soma de dois elementos de
fica em
.
Passo 4
Mostramos a fechadura sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
e, como
e
são subespaços, cada um é fechado por escalares, isto é,
Logo
Resposta
Portanto,
contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, sendo assim um subespaço vetorial de
.