Mostre que se U e W são subespaços do espaço vetorial V (sobre o corpo F ), então a interseção definida como
U cap W=v in V / v in U e v in W
é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Estamos em um espaço vetorial V sobre um corpo F e U e W são subespaços de V. Definimos
U cap W = ,v in V mid v in U e v in W
Queremos mostrar que U cap W também satisfaz as três propriedades de subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que Ucap W contém o vetor zero. Como U é subespaço, 0in U. Como W é subespaço, 0in W. Logo
0in U cap W
Assim Ucap W não é vazio e já tem o zero, condição básica de subespaço.

Passo 3

Mostramos a fechadura sob soma. Sejam x,y in Ucap W. Então
xin U,;xin W, yin U,;yin W
Como U e W são subespaços, eles são fechados sob soma, logo
x+y in U e x+y in W
Daí
x+y in U cap W,
mostrando que a soma de dois elementos de Ucap W fica em Ucap W.

Passo 4

Mostramos a fechadura sob multiplicação escalar. Seja alphain F e xin Ucap W. Então
xin U,;xin W
e, como U e W são subespaços, cada um é fechado por escalares, isto é,
alpha xin U e alpha xin W
Logo
alpha x in U cap W

Resposta

Portanto, Ucap W contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, sendo assim um subespaço vetorial de V.

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