Considere os seguintes subespaços de M2 times 2[R]: S=[cca & a+b a & b], a, b in R e W=[lla & b c & d] ; a, b, c, d in R, b=c. Encontre uma base para S e uma para W e suas dimensões.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base de dois subespaços de :
e
.
Precisamos expressar cada subespaço como combinação linear de matrizes “canônicas” e extrair delas um conjunto independente gerador, depois determinar sua dimensão.

Passo 2

Para , escrevemos cada elemento em função de e :
Logo
Verificamos que e são linearmente independentes (a única solução de é ), então formam uma base de .

Passo 3

Para , a condição faz cada matriz ter a forma
Assim
Esses três são claramente independentes, logo formam uma base de .

Resposta

Base de S:
l1 & 11 & 0,; 0 & 10 & 1r, dim S = 2
Base de W:
l1 & 00 & 0,; 0 & 11 & 0,; 0 & 00 & 1r, dim W = 3

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