Encontre uma base e a dimensão para cada espaço vetorial seguinte:
(x+z, x+y, y+z) in R^3 ; x, y, z in R

Passo 1

O enunciado pede base e dimensão do subespaço
S = (x+z,;x+y,;y+z)inR^3 mid x,y,zinR
O conteúdo é teoria de subespaços de R^3: uso de parametrização para encontrar um conjunto gerador, teste de independência linear para extrair uma base e cálculo da dimensão.

Passo 2

Pegamos um vetor genérico de S:
(x+z,;x+y,;y+z)
Vamos escrevê-lo como combinação linear de vetores fixos. Observe que
(x+z,;x+y,;y+z) = x,(1,1,0);+;y,(0,1,1);+;z,(1,0,1)
Logo
S = span,v1,v2,v3,
onde
v1=(1,1,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1)

Passo 3

Para ver que v1,v2,v3 é linearmente independente, suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0)
Isto é,
(a+c,;a+b,;b+c) = (0,0,0)
Do primeiro componente a+c=0 vem c=-a. Do segundo a+b=0 vem b=-a. Substituindo no terceiro b+c = -a + (-a) = -2a = 0 implica a=0. Então b=c=0. Logo só há a combinação trivial, e os três vetores são independentes.

Passo 4

Como v1,v2,v3 gera S e é linearmente independente, é uma base de S. Há exatamente três vetores na base, logo
dim S = 3

Resposta

Uma base é (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) e dim S = 3.

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