Encontre uma base e a dimensão para cada espaço vetorial seguinte:
Passo 1
O enunciado pede base e dimensão do subespaço
O conteúdo é teoria de subespaços de
: uso de parametrização para encontrar um conjunto gerador, teste de independência linear para extrair uma base e cálculo da dimensão.
Passo 2
Pegamos um vetor genérico de
:
Vamos escrevê-lo como combinação linear de vetores fixos. Observe que
Logo
onde
Passo 3
Para ver que
é linearmente independente, suponha que existam escalares
tais que
Isto é,
Do primeiro componente
vem
. Do segundo
vem
. Substituindo no terceiro
implica
. Então
. Logo só há a combinação trivial, e os três vetores são independentes.
Passo 4
Como
gera
e é linearmente independente, é uma base de
. Há exatamente três vetores na base, logo
Resposta
Uma base é
e
.