Encontre uma base e a dimensão para cada espaço vetorial seguinte:
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
definido pela equação linear
O objetivo é encontrar uma base de
e sua dimensão. Para isso, vamos usar a parametrização de soluções de uma equação homogênea e depois identificar vetores geradores linearmente independentes.
Passo 2
Escrevemos um vetor genérico
e usamos a condição
para eliminar
. Assim,
Passo 3
Tratamos
e
como parâmetros livres e reescrevemos o vetor em função desses parâmetros:
Isso mostra que todo vetor de
é combinação linear de
e
. Como não há escalar que transforme um desses vetores no outro, eles são linearmente independentes.
Passo 4
Concluímos que
é uma base de
. Como a base tem dois vetores, segue que
Resposta
A base é
e a dimensão do subespaço é
.