Encontre uma base e a dimensão para cada espaço vetorial seguinte:
(x, y, z) in R^3 ; x+y=z

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço Vsubseteq R^3 definido pela equação linear
x + y = z
O objetivo é encontrar uma base de V e sua dimensão. Para isso, vamos usar a parametrização de soluções de uma equação homogênea e depois identificar vetores geradores linearmente independentes.

Passo 2

Escrevemos um vetor genérico (x,y,z)in V e usamos a condição x+y=z para eliminar z. Assim,
(x,y,z) = (x,y,x+y)

Passo 3

Tratamos x e y como parâmetros livres e reescrevemos o vetor em função desses parâmetros:
(x,y,x+y) = x,(1,0,1) ;+; y,(0,1,1)
Isso mostra que todo vetor de V é combinação linear de (1,0,1) e (0,1,1). Como não há escalar que transforme um desses vetores no outro, eles são linearmente independentes.

Passo 4

Concluímos que
(1,0,1),(0,1,1)
é uma base de V. Como a base tem dois vetores, segue que
dim(V) = 2

Resposta

A base é (1,0,1),(0,1,1) e a dimensão do subespaço é 2.

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