Encontre 2 bases distintas para cada um dos espaços (represente-as na forma de conjunto):
R^2

Passo 1

O enunciado pede duas bases distintas de R^2. Lembrando que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz dois requisitos:
  1. É linearmente independente (LI).
  2. Gera todo o espaço (ou seja, todo vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores).

Passo 2

Primeiro escolhemos a base padrão
B1 = (1,0),,(0,1)
Verificação de LI: se alpha(1,0)+beta(0,1)=(0,0), então
(alpha,beta)=(0,0),
logo só a combinação trivial anula.
Verificação de geração: dado qualquer (x,y)inR^2, basta tomar alpha=x e beta=y para ter
alpha(1,0)+beta(0,1)=(x,y)
Portanto B1 é base de R^2.

Passo 3

Agora propomos
Verificação de LI: suponha
cuja única solução é (\alpha=\beta=0]. Logo os vetores são LI.

Passo 4

Verificação de geração para
Isso dá o sistema
cuja solução é
Como sempre existe solução única, . Portanto é base.

Resposta

B1 = (1,0),,(0,1)
B2 = (1,1),,(1,-1)

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