Encontre 2 bases distintas para cada um dos espaços (represente-as na forma de conjunto):
Passo 1
O enunciado pede duas bases distintas de
. Lembrando que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz dois requisitos:
- É linearmente independente (LI).
- Gera todo o espaço (ou seja, todo vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores).
Passo 2
Primeiro escolhemos a base padrão
Verificação de LI: se
, então
logo só a combinação trivial anula.
Verificação de geração: dado qualquer , basta tomar
e
para ter
Verificação de geração: dado qualquer
Portanto
é base de
.
Passo 3
Agora propomos
Verificação de LI: suponha
cuja única solução é (\alpha=\beta=0]. Logo os vetores são LI.
Passo 4
Verificação de geração para
Isso dá o sistema
cuja solução é
Como sempre existe solução única, . Portanto
é base.