Encontre 2 bases distintas para cada um dos espaços (represente-as na forma de conjunto):
R^3

Passo 1

O enunciado pede duas bases diferentes de R^3. Lembre que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que (i) são linearmente independentes e (ii) geram todo o espaço. Aqui o conteúdo é Álgebra Linear básica, mais especificamente a definição de base em R^3.

Passo 2

Uma escolha clássica é a base canônica
B1 = l,(1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1)r
Esses três vetores são linearmente independentes (nenhum é combinação dos outros) e qualquer (x,y,z) em R^3 pode ser escrito como
(x,y,z) = x,(1,0,0) + y,(0,1,0) + z,(0,0,1),
logo geram R^3.

Passo 3

Para ter uma base distinta, escolhemos três vetores quaisquer ainda LI e que gerem R^3; por exemplo,
B2 = l,(1,1,0),,(0,1,1),,(1,0,1)r
1. Linearidade: montando a matriz cujas colunas são esses vetores, o determinante é
det 1 & 0 & 1 [6pt] 1 & 1 & 0 [6pt] 0 & 1 & 1 = 1cdot(1cdot1 - 0cdot1) - 0 + 1cdot(1cdot1 - 1cdot0)=1+1=2neq0,
logo são LI.
2. Geração: como são três vetores LI em R^3, automaticamente geram todo o espaço.]

Resposta

As duas bases distintas para R^3 são:
B1 = l,(1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1)r,
B2 = l,(1,1,0),,(0,1,1),,(1,0,1)r

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