Considere
e
os seguintes subespaços do espaço vetorial real (
. ) dados por
Mostre que
, mas a soma não é direta.
Passo 1
O enunciado define em
os subespaços
e pede para mostrar que
mas que essa soma não é direta. Vamos usar a definição de soma de subespaços
e a condição de soma direta, que exige
Passo 2
Mostramos primeiro
. Seja um vetor arbitrário
. Podemos escrevê-lo como
Observe que
(pois tem primeira coordenada zero) e
(pois tem segunda coordenada zero). Logo
. Como
era genérico, segue
. A inclusão inversa
é trivial, pois
. Portanto
Passo 3
Agora calculamos a interseção
. Um vetor
está em
se e somente se simultaneamente
(para pertencer a
) e
(para pertencer a
). Logo
Esse conjunto não é apenas o vetor zero: contém todos os vetores da forma
, com
arbitrário.
Passo 4
Para que a soma de subespaços seja direta (isto é,
), precisamos de
. Mas vimos que
Logo a soma
não é direta.