Considere U e W os seguintes subespaços do espaço vetorial real ( M_{n}(\mathbb{R}),+,. ) dados por
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=0\right\} \text { e } W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; y=0\right\}
Mostre que \mathbb{R}^{3}=U+W, mas a soma não é direta.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 os subespaços
U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=0\}, \quad W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=0\},
e pede para mostrar que \mathbb{R}^3 = U + W mas que essa soma não é direta. Vamos usar a definição de soma de subespaços
U+W = \{\,u+w \mid u\in U,\;w\in W\}
e a condição de soma direta, que exige U\cap W=\{0\}.

Passo 2

Mostramos primeiro \mathbb{R}^3 = U + W. Seja um vetor arbitrário v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Podemos escrevê-lo como
v = (0,y,z) + (x,0,0).
Observe que (0,y,z)\in U (pois tem primeira coordenada zero) e (x,0,0)\in W (pois tem segunda coordenada zero). Logo v\in U+W. Como v era genérico, segue \mathbb{R}^3\subseteq U+W. A inclusão inversa U+W\subseteq\mathbb{R}^3 é trivial, pois U,W\subseteq\mathbb{R}^3. Portanto
\mathbb{R}^3 = U + W.

Passo 3

Agora calculamos a interseção U\cap W. Um vetor v=(x,y,z) está em U\cap W se e somente se simultaneamente x=0 (para pertencer a U) e y=0 (para pertencer a W). Logo
U\cap W = \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
Esse conjunto não é apenas o vetor zero: contém todos os vetores da forma (0,0,z), com z arbitrário.

Passo 4

Para que a soma de subespaços seja direta (isto é, U\oplus W), precisamos de U\cap W=\{(0,0,0)\}. Mas vimos que
U\cap W = \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}\neq\{(0,0,0)\}.
Logo a soma U+W não é direta.

Resposta

\mathbb{R}^3 = U + W, mas a soma não é direta pois U\cap W=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}\neq\{(0,0,0)\}.

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