Seja ( \mathbb{R}^{3},+, .) espaço vetorial real. Considere as bases de ( \mathbb{R}^{3},+, .) abaixo
\mathcal{B}=\{(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)\} \text { e } \mathcal{C}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}
Encontre a matriz de mudança da base \mathcal{B} para a base \mathcal{C}.

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial \mathbb{R}^3 com duas bases: \mathcal{B}=\{(1,0,1),\,(1,1,1),\,(1,1,2)\} e a base canônica \mathcal{C}=\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}.
Queremos a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{C}.
Para isso, vamos usar a definição de matriz de mudança de base: suas colunas são as coordenadas dos vetores de \mathcal{B} expressos em \mathcal{C}.

Passo 2

Como \mathcal{C} é a base canônica de \mathbb{R}^3, qualquer vetor (x,y,z) já está escrito em coordenadas de \mathcal{C}.
Logo, para cada vetor v_i\in\mathcal{B}, as suas coordenadas em \mathcal{C} são simplesmente os próprios componentes de v_i.
Sejam
v_1=(1,0,1),\quad v_2=(1,1,1),\quad v_3=(1,1,2).

Passo 3

A matriz de mudança de base P_{\mathcal{B}\to\mathcal{C}} terá como i-ésima coluna as coordenadas de v_i na base \mathcal{C}. Portanto,
P_{\mathcal{B}\to\mathcal{C}} =\bigl[\,v_1\;|\;v_2\;|\;v_3\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{\mathcal{B}\to\mathcal{C}} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

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