Mostre que os pontos P(1,2,3), Q(2,4,6) e R(3,6,9) s ao colineares usando vetores.

Passo 1

O enunciado fornece os pontos P(1,2,3), Q(2,4,6) e R(3,6,9) e pede para mostrar que eles são colineares usando vetores. Em geometria vetorial, três pontos são colineares se os vetores formados a partir de um mesmo ponto forem paralelos (ou equivalently, linearmente dependentes).

Passo 2

Escolhemos o ponto P como origem para formar os vetores. Calculamos
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (2-1,\;4-2,\;6-3) = (1,2,3).
Do mesmo modo, calculamos
\overrightarrow{PR} = R - P = (3-1,\;6-2,\;9-3) = (2,4,6).

Passo 3

Verificamos se \overrightarrow{PR} é múltiplo escalar de \overrightarrow{PQ}. De fato,
\overrightarrow{PR} = (2,4,6) = 2\,(1,2,3) = 2\,\overrightarrow{PQ}.
Isso mostra que os dois vetores são paralelos.

Passo 4

Como \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} são paralelos, os pontos P, Q e R estão na mesma reta, ou seja, são colineares.

Resposta

Os pontos P, Q e R são colineares.

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