Sejam ( M_{2}(\mathbb{R}),+,. ) espaço vetorial real,
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)
e T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada por
T(X)=A X-X A, X \in M_{2}(\mathbb{R})
Mostre que T é um operador linear em M_{2}(\mathbb{R}) e encontre o núcleo e a imagem do operador linear T e suas respectivas dimensões.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real M_{2}(\mathbb{R}) e o operador
T\colon M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}),\quad T(X)=AX - XA,
onde
A=\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&1\end{pmatrix}.
O conteúdo é teoria de operadores lineares: vamos mostrar que T é linear, depois achar \ker(T) (os X que comutam com A) e \Im(T), e determinar suas dimensões usando o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Para verificar que T é linear basta checar aditividade e homogeneidade. Sejam X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}) e \lambda\in\mathbb{R}. Então
T(X+Y)=A(X+Y)-(X+Y)A=AX-YA+AY-YA=T(X)+T(Y),
T(\lambda X)=A(\lambda X)-(\lambda X)A=\lambda(AX-XA)=\lambda\,T(X).
Logo T é operador linear.

Passo 3

Para achar \ker(T) resolvemos T(X)=0. Seja
X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}.
Calculando em bloco:
AX = \begin{pmatrix}x_{11}+2x_{21}&x_{12}+2x_{22}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix},\quad XA = \begin{pmatrix}x_{11}&2x_{11}+x_{12}\x_{21}&2x_{21}+x_{22}\end{pmatrix},
então
T(X)=AX-XA =\begin{pmatrix}2x_{21}&2(x_{22}-x_{11})\\\ 0&-2x_{21}\end{pmatrix}.
Impor T(X)=0 dá as equações
2x_{21}=0,\quad 2(x_{22}-x_{11})=0,
isto é x_{21}=0 e x_{22}=x_{11}. Portanto
\ker(T)=\Bigl\{\begin{pmatrix}a&b\\\ 0&a\end{pmatrix}\Bigm|a,b\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Passo 4

Na descrição de \ker(T) usamos dois parâmetros livres a e b. Logo
\dim(\ker(T))=2.

Passo 5

Para descrever \Im(T) note que T(X) varia conforme os parâmetros u=2x_{21} e v=2(x_{22}-x_{11}). Escrevendo u,v\in\mathbb{R} vemos
\Im(T)=\Bigl\{\begin{pmatrix}u&v\\\ 0&-u\end{pmatrix}\Bigm|u,v\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Passo 6

Há dois graus de liberdade (u,v) em \Im(T), portanto
\dim(\Im(T))=2.
Também confere com o Teorema do Núcleo e Imagem para espaços de dimensão 4: 2+2=4.

Resposta

Núcleo:
\ker(T)=\Bigl\{\begin{pmatrix}a&b\\\ 0&a\end{pmatrix}\Bigr\},\quad \dim(\ker(T))=2.
Imagem:
\Im(T)=\Bigl\{\begin{pmatrix}u&v\\\ 0&-u\end{pmatrix}\Bigr\},\quad \dim(\Im(T))=2.

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