Q8: Considere
os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I) Se
é LD, então
pode ter solução única.
II) Se
é LI, então
não tem solução.
III) Se
é LD, então
tem infinitas solução.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
I) Se
II) Se
III) Se
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá três vetores
e define dois sistemas:
O que se pede é checar as afirmações sobre existência e unicidade de soluções em função de
ser linearmente dependente (LD) ou independente (LI).
Passo 2
Analisando
: é o sistema homogêneo que sempre tem a solução trivial
.
– Se é LI, não existe combinação não trivial que dê zero, logo é única solução.
– Se é LD, existe combinação não trivial, logo infinitas soluções.
– Se
– Se
Passo 3
Da análise de
concluímos que a afirmativa I (“Se
é LD, então
pode ter solução única”) é falsa, pois no caso LD há sempre soluções não triviais e, portanto, infinitas.
Passo 4
Analisando
:
.
– Se é LI, então
são três vetores independentes, de modo que
não pode estar no span
. Logo não há solução.
– Se é LD, existem vários casos:
• Pode ser com
LI, gerando uma única solução;
• Ou outra dependência envolvendo , gerando nenhum ou infinitas soluções.
– Se
– Se
• Pode ser
• Ou outra dependência envolvendo
Passo 5
Com isso:
– A afirmativa II (“Se é LI, então
não tem solução”) é verdadeira.
– A afirmativa III (“Se é LD, então
tem infinitas solução”) é falsa, pois em alguns casos (por exemplo
com
LI) há solução única.
– A afirmativa II (“Se
– A afirmativa III (“Se
Resposta
(F) Apenas II é verdadeira.