Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} \mathrm{e} os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} | \overrightarrow{0} \end{array}\right] \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \end{array}\right]
Considere as afirmativas abaixo:
I) Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
II) Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
III) Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb R^5 e define dois sistemas:
S_1:\;x_1\vec v_1+x_2\vec v_2+x_3\vec v_3=\vec0
S_2:\;x_1\vec v_1+x_2\vec v_2=\vec v_3
O que se pede é checar as afirmações sobre existência e unicidade de soluções em função de \beta ser linearmente dependente (LD) ou independente (LI).

Passo 2

Analisando S_1: é o sistema homogêneo que sempre tem a solução trivial (0,0,0).
– Se \beta é LI, não existe combinação não trivial que dê zero, logo é única solução.
– Se \beta é LD, existe combinação não trivial, logo infinitas soluções.

Passo 3

Da análise de S_1 concluímos que a afirmativa I (“Se \beta é LD, então S_1 pode ter solução única”) é falsa, pois no caso LD há sempre soluções não triviais e, portanto, infinitas.

Passo 4

Analisando S_2:
\;x_1\vec v_1+x_2\vec v_2=\vec v_3.
– Se \beta é LI, então \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} são três vetores independentes, de modo que \vec v_3 não pode estar no span \{\vec v_1,\vec v_2\}. Logo não há solução.
– Se \beta é LD, existem vários casos:
• Pode ser \vec v_3\in\mathrm{span}\{\vec v_1,\vec v_2\} com \vec v_1,\vec v_2 LI, gerando uma única solução;
• Ou outra dependência envolvendo \vec v_1,\vec v_2, gerando nenhum ou infinitas soluções.

Passo 5

Com isso:
– A afirmativa II (“Se \beta é LI, então S_2 não tem solução”) é verdadeira.
– A afirmativa III (“Se \beta é LD, então S_2 tem infinitas solução”) é falsa, pois em alguns casos (por exemplo \vec v_3\in\mathrm{span}\{\vec v_1,\vec v_2\} com \vec v_1,\vec v_2 LI) há solução única.

Resposta

(F) Apenas II é verdadeira.

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