Considere os seguintes subespaços do \mathbb{R}^{3} :
\begin{aligned} & S_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x+2 y+z=0\right\} \\\ & S_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x=0, y=0 e z \in \mathbb{R}\right\} \end{aligned}
Determine:
a) S_{1}+S_{2};
b) S_{1} \cap S_{2}

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3:
S_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+2y+z=0\}, \quad S_{2}=\{(0,0,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z\in\mathbb{R}\}.
Queremos calcular a soma de subespaços
S_{1}+S_{2}=\{u+v \mid u\in S_{1},\,v\in S_{2}\}
e a interseção
S_{1}\cap S_{2}=\{w\in\mathbb{R}^3 \mid w\in S_{1}\text{ e }w\in S_{2}\}.
Vamos usar a definição de soma e interseção e também o teorema de dimensões
\dim(S_{1}+S_{2})=\dim S_{1}+\dim S_{2}-\dim(S_{1}\cap S_{2}).

Passo 2

Para achar S_{1}\cap S_{2}, note que todo vetor em S_{2} é da forma (0,0,z). Impor que ele pertença a S_{1} significa satisfazer
0 + 2\cdot 0 + z = 0
ou seja z=0. Logo
S_{1}\cap S_{2} = \{(0,0,0)\}.

Passo 3

Agora calculamos as dimensões: \dim S_{1}=2 pois é um plano de \mathbb{R}^3, \dim S_{2}=1 pois é uma reta (o eixo z), \dim(S_{1}\cap S_{2})=0 pois é só o vetor nulo.
Pelo teorema de dimensões,
\dim(S_{1}+S_{2}) =2 + 1 - 0 =3.
Como qualquer subespaço de \mathbb{R}^3 de dimensão 3 é o próprio \mathbb{R}^3, concluímos que
S_{1}+S_{2}=\mathbb{R}^3.

Resposta

a) S_{1}+S_{2}=\mathbb{R}^3
b) S_{1}\cap S_{2}=\{(0,0,0)\}

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