Considere os seguintes subespaços do \mathbb{R}^{3} :
\begin{aligned} & S_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x+y+z=0\right\} \\\ & S_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x-3 y=0 \text { e } z=2 x\right\} \end{aligned}
Determine:
S_{1} \cap S_{2}

Passo 1

O enunciado define os subespaços de \mathbb{R}^3 S_{1}=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}, \quad S_{2}=\{(x,y,z)\mid x-3y=0,\;z=2x\},
e pede a interseção S_1\cap S_2. O conteúdo é resolver um sistema linear para encontrar vetores em comum.

Passo 2

Parametrizamos S_{2} a partir das suas equações:
x-3y=0\implies x=3y, \quad z=2x\implies z=2\,(3y)=6y.
Logo todo vetor de S_{2} pode ser escrito como
(x,y,z)=(3y,y,6y)=y\,(3,1,6).

Passo 3

Para que (3y,y,6y) pertença também a S_{1}, impomos
x+y+z=0 \quad\Longrightarrow\quad 3y + y + 6y = 10y = 0
o que dá y=0.

Passo 4

Com y=0 obtemos o único vetor comum (0,0,0). Portanto a interseção é o subespaço trivial.

Resposta

S_{1}\cap S_{2}=\{(0,0,0)\}.

Exercícios relacionados