Considere os seguintes subespaços do \mathbb{R}^{3} :
\begin{aligned} & S_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x+y+z=0\right\} \\\ & S_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x-3 y=0 \text { e } z=2 x\right\} \end{aligned}
Determine:
S_{1}+S_{2};

Passo 1

O enunciado nos dá dois subespaços de \mathbb{R}^{3}:
S_{1}=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}, \quad S_{2}=\{(x,y,z)\mid x-3y=0\text{ e }z=2x\}.
O objetivo é determinar o subespaço soma S_{1}+S_{2}, isto é, todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de S_{1} com um de S_{2}.

Passo 2

Primeiro vamos achar dimensões e bases de cada subespaço.
– Para S_{1}, a condição x+y+z=0 dá um plano de dimensão 2. Uma parametrização é
(x,y,z)=(-y-z,y,z)=y\,(-1,1,0)+z\,(-1,0,1),
portanto uma base de S_{1} é \{(-1,1,0),\,(-1,0,1)\} e \dim S_{1}=2.
– Para S_{2}, as equações x-3y=0 e z=2x levam a x=3y e z=6y. Logo
(x,y,z)=(3y,y,6y)=y\,(3,1,6),
que mostra que S_{2}=\mathrm{span}\{(3,1,6)\} e \dim S_{2}=1.

Passo 3

Agora determinamos a interseção S_{1}\cap S_{2}. Seja um vetor não nulo em S_{2} dado por t\,(3,1,6). Para estar em S_{1} precisa satisfazer
x+y+z=3t+1t+6t=10t=0
o que obriga t=0. Logo
S_{1}\cap S_{2}=\{(0,0,0)\},
isto é, a interseção é trivial e \dim(S_{1}\cap S_{2})=0.

Passo 4

Usamos a fórmula de dimensão para soma de subespaços:
\dim(S_{1}+S_{2}) =\dim S_{1}+\dim S_{2}-\dim(S_{1}\cap S_{2}) =2+1-0=3.
Como \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, concluímos que
S_{1}+S_{2}=\mathbb{R}^{3}.

Resposta

S_{1}+S_{2}=\mathbb{R}^{3}.

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