Sejam A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1+x^{2} \leqslant y \leqslant 2+x^{2}, x \geqslant 0\right. e \left.y \geqslant x+x^{2}\right\} e B=\left\{(u, v) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leqslant v \leqslant 2, v \geqslant u\right. e \left.u \geqslant 0\right\}.
(a) Verifique que B=T(A), onde (u, v)=T(x, y), com u=x e v=y-x^{2}.
(b) Verifique que a área de A é igual à área de B.

Passo 1

O enunciado define A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 1 + x^2 \le y \le 2 + x^2,\;x\ge0,\;y \ge x + x^2\}
e B = \{(u,v)\in\mathbb{R}^2 : 1 \le v \le 2,\;v \ge u,\;u\ge0\}.
Queremos mostrar que sob a transformação
T(x,y) = (u,v) = \bigl(x,\;y - x^2\bigr)
temos T(A)=B e, em seguida, que \mathrm{Área}(A)=\mathrm{Área}(B)ÁÁ.

Passo 2

Mostramos T(A)\subset B. Seja (x,y)\in A. Definindo
u = x,\quad v = y - x^2,
vemos imediatamente que u = x\ge0. Como y satisfaz 1 + x^2 \le y \le 2 + x^2, subtraindo x^2 obtemos
1 \le y - x^2 = v \le 2.
Além disso, a condição y \ge x + x^2 vira
v = y - x^2 \ge x = u,
logo (u,v) satisfaz todas as desigualdades que definem B. Assim, T(A)\subset B.

Passo 3

Mostramos B\subset T(A). Seja (u,v)\in B. Definimos
x = u,\quad y = v + x^2 = v + u^2.
Como u\ge0, temos x\ge0. E das desigualdades de B, 1\le v\le2 implica
1 + x^2 \le v + x^2 = y \le 2 + x^2,
enquanto v\ge u
y = v + x^2 \ge u + x^2 = x + x^2.
Portanto (x,y) satisfaz as três condições de A, de modo que (u,v)=T(x,y)\in T(A). Concluímos T(A)=B.

Passo 4

Para relacionar as áreas, calculamos o jacobiano de T. Como
u = x,\quad v = y - x^2,
temos
J = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y\\[6pt] \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0\\\\ -2x & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot1 - 0\cdot(-2x) = 1.]

Passo 5

Como \bigl|\det J\bigr|=1, temos a fórmula de mudança de variáveis em duplas integrais:
\iint_{A}dx\,dy = \iint_{B}\bigl|\det J\bigr|\,du\,dv = \iint_{B}du\,dv = \mathrm{Área}(B).Á
Logo
\mathrm{Área}(A) \;=\;\mathrm{Área}(B).ÁÁ

Resposta

A área de A é igual à área de B, pois T satisfaz \det(\partial(u,v)/\partial(x,y))=1.

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