Considere os seguintes subespaços de mathbb{R}^{4}.
S_{2}=\left\{\left.\left[\begin{array}{l}a \\\ b \\\ c \\\ d\end{array}\right] \right\rvert\, a-2 b=0\right. e \left.c=3 d\right\}
Encontre a dimensão de cada um dos subespaços acima. Encontre também uma base para cada subespaço.

Passo 1

O enunciado fala de dois subespaços de \mathbb{R}^4, mas só foi fornecida a definição de
S_{2} = \Bigl\{[a,b,c,d]^T \in \mathbb{R}^4 \mid a-2b=0 \text{ e } c=3d\Bigr\}.
Para achar dimensão e base de cada subespaço, precisamos conhecer ambos; como o primeiro não foi dado, só podemos resolver para S_{2}.

Passo 2

Observamos que em S_{2} há duas condições lineares independentes em quatro coordenadas:
a - 2b = 0, \quad c - 3d = 0.
Cada equação reduz o grau de liberdade em 1, de modo que a dimensão do subespaço é
\dim S_{2} = 4 - 2 = 2.

Passo 3

Para encontrar uma base, parametrize as variáveis livres. Das equações:
a = 2b, \quad c = 3d,
podemos tomar b e d como parâmetros livres. Escrevendo
[a,b,c,d]^T = [2b,\,b,\,3d,\,d]^T = b\,[2,1,0,0]^T \;+\; d\,[0,0,3,1]^T.
Logo os vetores [2,1,0,0]^T e [0,0,3,1]^T geram todo S_{2}.

Resposta

\dim S_{2} = 2.
Uma base de S_{2} é \{[2,1,0,0]^T,\,[0,0,3,1]^T\}.
Não foi possível resolver para o outro subespaço porque sua definição não foi fornecida no enunciado.

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