Considere os seguintes subespaços do R^{3} : U=[(1,2,1),(-1,1,-1)] e W=[(2,2,1),(1,1,-1))]. Encontre um sistema de geradores para o subespaço U \cap W.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3:
U = \Span\{(1,2,1),\,(-1,1,-1)\} \quad\text{e}\quad W = \Span\{(2,2,1),\,(1,1,-1)\}.
Pede-se um sistema de geradores para U\cap W.
Como interseção de subespaços é também subespaço, vamos achar todos os vetores v\in\mathbb{R}^3 que podem ser escritos simultaneamente como combinação linear dos geradores de U e de W.
Passo 2
Seja
v = a\,(1,2,1) + b\,(-1,1,-1) \quad\text{e}\quad v = c\,(2,2,1) + d\,(1,1,-1).
Então, igualando coordenadas, obtemos o sistema
\begin{cases} a - b = 2c + d,\\\\ 2a + b = 2c + d,\\\ a - b = c - d. \end{cases}
Passo 3
Das duas primeiras equações:
a - b = 2a + b \quad\Longrightarrow\quad a + 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = -2b.
Substituindo a=-2b na terceira equação a - b = c - d e na primeira a - b = 2c + d, temos
-3b = c - d, \quad -3b = 2c + d.
Resolvendo esse par para c,d em função de b, obtemos