Considere os seguintes subespaços do R^{3} :
U=[(1,2,1),(-1,1,-1)] e W=[(2,2,1),(1,1,-1))]. Encontre um sistema de geradores para o subespaço U \cap W.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3:
U = \Span\{(1,2,1),\,(-1,1,-1)\} \quad\text{e}\quad W = \Span\{(2,2,1),\,(1,1,-1)\}.
Pede-se um sistema de geradores para U\cap W.
Como interseção de subespaços é também subespaço, vamos achar todos os vetores v\in\mathbb{R}^3 que podem ser escritos simultaneamente como combinação linear dos geradores de U e de W.

Passo 2

Seja
v = a\,(1,2,1) + b\,(-1,1,-1) \quad\text{e}\quad v = c\,(2,2,1) + d\,(1,1,-1).
Então, igualando coordenadas, obtemos o sistema
\begin{cases} a - b = 2c + d,\\\\ 2a + b = 2c + d,\\\ a - b = c - d. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações:
a - b = 2a + b \quad\Longrightarrow\quad a + 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = -2b.
Substituindo a=-2b na terceira equação a - b = c - d e na primeira a - b = 2c + d, temos
-3b = c - d, \quad -3b = 2c + d.
Resolvendo esse par para c,d em função de b, obtemos
c = -2b, \quad d = b.

Passo 4

Portanto
v = a\,(1,2,1) + b\,(-1,1,-1) = (-2b)\,(1,2,1) + b\,(-1,1,-1) = b\,\bigl(-2(1,2,1) +(-1,1,-1)\bigr) = b\,(-3,-3,-3).
Isto mostra que todo vetor em U\cap W é múltiplo de (-3,-3,-3). Logo
U\cap W = \Span\{(-3,-3,-3)\} = \Span\{(1,1,1)\}.

Resposta

Uma base (sistema de geradores) para U\cap W é dado por (1,1,1).

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