Resolva o PVI:
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x^{2}}+x}{y^{2} e^{y^{3}}}, \operatorname{com} y(0)=1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{e^{x^{2}}+x}{y^{2}e^{y^{3}}},\quad y(0)=1.
Isto é uma EDO de variables separáveis. Vamos separar x e y, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y^{2}e^{y^{3}} e por dx:
y^{2}e^{y^{3}}\,dy \;=\;\bigl(e^{x^{2}}+x\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int y^{2}e^{y^{3}}\,dy = \int \bigl(e^{x^{2}}+x\bigr)\,dx.
Para a integral à esquerda, use u=y^{3}, du=3y^{2}dy, logo
\int y^{2}e^{y^{3}}\,dy = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du = \frac{1}{3}e^{y^{3}}.
Para a direita,
\int \bigl(e^{x^{2}}+x\bigr)\,dx = \int e^{x^{2}}\,dx \;+\;\frac{x^{2}}{2} = \int_{0}^{x}e^{s^{2}}\,ds \;+\;\frac{x^{2}}{2} + C.
Assim obtemos a solução implícita
\frac{1}{3}e^{y^{3}} = \int_{0}^{x}e^{s^{2}}\,ds + \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 4

Usamos y(0)=1. Em x=0 a integral e o termo \tfrac{x^2}{2} valem zero, e y=1
\frac{1}{3}e^{1} = C.
Logo
\frac{1}{3}e^{y^{3}} = \int_{0}^{x}e^{s^{2}}\,ds + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3}e.
Multiplicando por 3:
e^{y^{3}} = 3\int_{0}^{x}e^{s^{2}}\,ds \;+\;\frac{3\,x^{2}}{2} \;+\;e.

Passo 5

Isolamos y. Tomando logaritmo e a raiz cúbica:
y^{3} = \ln\Bigl(3\int_{0}^{x}e^{s^{2}}\,ds + \tfrac{3\,x^{2}}{2} + e\Bigr),
y(x) = \Bigl[\ln\bigl(3\!\int_{0}^{x}e^{s^{2}}\,ds + \tfrac{3x^{2}}{2} + e\bigr)\Bigr]^{\!\frac{1}{3}}.

Resposta

y(x) = \Bigl[\ln\!\bigl(3\!\displaystyle\int_{0}^{x}e^{s^{2}}\,ds + \tfrac{3x^{2}}{2} + e\bigr)\Bigr]^{\!\frac{1}{3}}.

Exercícios relacionados