Determine conjuntos de geradores para os seguintes subespaços:
F=\left\{A=\left[a_{i j}\right] \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}): a_{11}+a_{21}=a_{22} \quad e \quad a_{12}=0\right\}

Passo 1

O enunciado define o subespaço F\subset M_{2\times2}(\mathbb R) por duas condições lineares sobre as entradas de uma matriz.

Passo 2

Chamando as entradas de uma matriz genérica A\in M_{2\times2}(\mathbb R) de forma
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},
as condições são a_{12}=0 e a_{11}+a_{21}=a_{22}.

Passo 3

Como a_{12}=0 e a_{22}=a_{11}+a_{21}, os parâmetros livres são a_{11} e a_{21}. Logo
A=\begin{pmatrix}a_{11}&0\a_{21}&a_{11}+a_{21}\end{pmatrix} =a_{11}\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} +a_{21}\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.

Passo 4

Da expressão acima, vemos que as matrizes
E_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad E_2=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}
geram F, pois toda combinação linear a_{11}E_1+a_{21}E_2 produz exatamente as matrizes de F.

Resposta

Um conjunto de geradores para F é
\left\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix}\right\}.

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