Considere os seguintes subespaços de
:
a) Determine
.
b) Determine os elementos que geram o subespaço
.
c) Determine os elementos que geram o subespaço
.
d)
é soma direta? Justifique.
b) Determine os elementos que geram o subespaço
c) Determine os elementos que geram o subespaço
d)
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
Pede-se (a)
, (b) geradores de
, (c) geradores de
, (d) se é soma direta. Vamos usar parametrizações e a fórmula de dimensão para soma de subespaços.
Passo 2
Parametrizamos
. As equações
e
dão
Logo
Assim uma base (geradores) de
é
e
.
Passo 3
Parametrizamos
. Da equação
isolamos
, obtendo
Uma base (geradores) de
é
e
.
Passo 4
Para
usamos a parametrização de
e exigimos a condição de
:
Substituindo:
Logo
. Portanto
Passo 5
Vemos que todo vetor de
é múltiplo de
. Assim um gerador de
é
e
.
Passo 6
Usamos a fórmula de Grassmann:
Como
tem dimensão
, conclui-se
. Assim um conjunto de geradores de
é simplesmente a base padrão de
:
Passo 7
A soma é direta se e somente se
. Mas aqui
tem dimensão
, não é só
. Logo
não é soma direta.
Resposta
a)
\n
b) Gerador: \n
c) , gerado por
\n
d) Não é soma direta, pois .
b) Gerador:
c)
d) Não é soma direta, pois