Considere os seguintes subespaços de R^4 :
U & =(x1, x2, x3, x4) in R^4 mid x1+x2=0 e x3-x4=0 W & =(x1, x2, x3, x4) in R^4 mid x1-x2-x3+x4=0
a) Determine U cap W.
b) Determine os elementos que geram o subespaço U cap W.
c) Determine os elementos que geram o subespaço U+W.
d) U+W é soma direta? Justifique.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^4:
U=(x1,x2,x3,x4)mid x1+x2=0,;x3-x4=0, W=(x1,x2,x3,x4)mid x1-x2-x3+x4=0
Pede-se (a) Ucap W, (b) geradores de Ucap W, (c) geradores de U+W, (d) se é soma direta. Vamos usar parametrizações e a fórmula de dimensão para soma de subespaços.

Passo 2

Parametrizamos U. As equações x1+x2=0 e x3-x4=0 dão
x2=-x1, x4=x3
Logo
(x1,x2,x3,x4)=(x1,-x1,x3,x3) =x1,(1,-1,0,0)+x3,(0,0,1,1)
Assim uma base (geradores) de U é
(1,-1,0,0),;(0,0,1,1),
e dim U=2.

Passo 3

Parametrizamos W. Da equação x1-x2-x3+x4=0 isolamos x1=x2+x3-x4, obtendo
(x1,x2,x3,x4) =(x2+x3-x4,;x2,;x3,;x4) =x2,(1,1,0,0)+x3,(1,0,1,0)+x4,(-1,0,0,1)
Uma base (geradores) de W é
(1,1,0,0),;(1,0,1,0),;(-1,0,0,1),
e dim W=3.

Passo 4

Para Ucap W usamos a parametrização de U e exigimos a condição de W:
(x1,x2,x3,x4)=(t,-t,s,s)deve satisfazer x1-x2-x3+x4=0
Substituindo:
t-(-t)-s+s=2t=0;Longrightarrow;t=0
Logo (x1,x2,x3,x4)=(0,0,s,s). Portanto
Ucap W=(0,0,s,s)mid sinR

Passo 5

Vemos que todo vetor de Ucap W é múltiplo de (0,0,1,1). Assim um gerador de Ucap W é
(0,0,1,1),
e dim(Ucap W)=1.

Passo 6

Usamos a fórmula de Grassmann:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=2+3-1=4
Como R^4 tem dimensão 4, conclui-se U+W=R^4. Assim um conjunto de geradores de U+W é simplesmente a base padrão de R^4:
e1,e2,e3,e4 =(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)

Passo 7

A soma é direta se e somente se Ucap W=0. Mas aqui Ucap W tem dimensão 1, não é só 0. Logo U+W não é soma direta.

Resposta

a) U cap W = (0,0,s,s) mid s in R\n
b) Gerador: (0,0,1,1)\n
c) U + W = R^4, gerado por (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\n
d) Não é soma direta, pois U cap W neq 0.

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