Mostre que as funçães do conjunto sen^2 x, cos ^2 x, sen x cos x geram o mesmo subespaço que 1, sen 2 x, cos 2 x.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que os subespaços gerados por
sin^2x,;cos^2x,;sin xcos x
e por
1,;sin2x,;cos2x
são iguais. Para isso basta provar que cada gerador de um conjunto é combinação linear dos geradores do outro, garantindo
Span(sin^2x,cos^2x,sin xcos x)=Span(1,sin2x,cos2x).

Passo 2

Mostramos primeiro que
sin^2x,;cos^2x,;sin xcos xinSpan(1,sin2x,cos2x).
Usamos as fórmulas de ângulo duplo e meia-soma:
sin^2x = 1-cos2x2,
cos^2x = 1+cos2x2,
sin xcos x = sin2x2
Cada expressão acima é combinação linear de 1, cos2x e sin2x.

Passo 3

Agora mostramos que
1,;sin2x,;cos2xinSpan(sin^2x,cos^2x,sin xcos x).
Bastam as identidades trigonométricas:
1 = sin^2x + cos^2x,
cos2x = cos^2x - sin^2x,
sin2x = 2,sin xcos x
Todas essas fórmulas expressam 1, cos2x e sin2x como combinações lineares de sin^2x, cos^2x e sin xcos x.

Passo 4

Como cada gerador de um conjunto pertence ao span do outro e vice-versa, concluímos que
Span(sin^2x,cos^2x,sin xcos x)=Span(1,sin2x,cos2x).

Resposta

Os dois conjuntos geram o mesmo subespaço, pois cada função de um conjunto é combinação linear das do outro.

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