Mostre que as funçães do conjunto
,
geram o mesmo subespaço que
.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que os subespaços gerados por
e por
são iguais. Para isso basta provar que cada gerador de um conjunto é combinação linear dos geradores do outro, garantindo
.
e por
são iguais. Para isso basta provar que cada gerador de um conjunto é combinação linear dos geradores do outro, garantindo
Passo 2
Mostramos primeiro que
.
Usamos as fórmulas de ângulo duplo e meia-soma:
Usamos as fórmulas de ângulo duplo e meia-soma:
Cada expressão acima é combinação linear de
,
e
.
Passo 3
Agora mostramos que
.
Bastam as identidades trigonométricas:
Bastam as identidades trigonométricas:
Todas essas fórmulas expressam
,
e
como combinações lineares de
,
e
.
Passo 4
Como cada gerador de um conjunto pertence ao span do outro e vice-versa, concluímos que
.
Resposta
Os dois conjuntos geram o mesmo subespaço, pois cada função de um conjunto é combinação linear das do outro.