Questão 1. Considere a seguinte afirmação: Se a reta
é dada pela interseção dos planos
então o produto vetorial
é um vetor diretor da reta
.
Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.
Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações de planos:
A reta
é a interseção desses dois planos. A afirmação diz que o produto vetorial dos vetores normais desses planos, ou seja,
, é um vetor diretor da reta
. Vamos verificar se isso é verdadeiro.
Para resolver, precisaremos entender conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos, retas e produto vetorial de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. No contexto dos planos, os vetores
e
são os vetores normais dos planos.
Passo 3
Como a reta
é a interseção dos dois planos, ela deve ser perpendicular tanto ao vetor normal do primeiro plano quanto ao vetor normal do segundo plano. Isso significa que qualquer vetor diretor da reta
deve ser perpendicular a ambos os vetores normais dos planos.
Passo 4
O produto vetorial
nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os vetores normais. Portanto, esse vetor resultante está na mesma direção da reta
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. O produto vetorial
de fato resulta em um vetor diretor da reta
.