(1,0) Questão 1. Considere a seguinte afirmação: Se a reta r é dada pela interseção dos planos
l a1 x+b1 y+c1 z=d1 a2 x+b2 y+c2 z=d2
então o produto vetorial (a1, b1, c1) times(a2, b2, c2) é um vetor diretor da reta r.
Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações de planos:
l a1 x+b1 y+c1 z=d1 a2 x+b2 y+c2 z=d2
A reta r é a interseção desses dois planos. A afirmação diz que o produto vetorial dos vetores normais desses planos, ou seja, (a1, b1, c1) times (a2, b2, c2) , é um vetor diretor da reta r . Vamos verificar se isso é verdadeiro.
Para resolver, precisaremos entender conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos, retas e produto vetorial de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. No contexto dos planos, os vetores (a1, b1, c1) e (a2, b2, c2) são os vetores normais dos planos.

Passo 3

Como a reta r é a interseção dos dois planos, ela deve ser perpendicular tanto ao vetor normal do primeiro plano quanto ao vetor normal do segundo plano. Isso significa que qualquer vetor diretor da reta r deve ser perpendicular a ambos os vetores normais dos planos.

Passo 4

O produto vetorial (a1, b1, c1) times (a2, b2, c2) nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os vetores normais. Portanto, esse vetor resultante está na mesma direção da reta r .

Resposta

A afirmação é verdadeira. O produto vetorial (a1, b1, c1) times (a2, b2, c2) de fato resulta em um vetor diretor da reta r .

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